与えられた式を因数分解する問題です。 (1) $xy - x - y + 1$ (2) $ab + bc - cd - da$ (5) $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$ (6) $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(1) $xy - x - y + 1$

(2) $ab + bc - cd - da$

(5) $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$

(6) $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$

2. 解き方の手順

(1) $xy - x - y + 1$

$x$ でくくり、定数項を調整します。

$x(y - 1) - (y - 1)$

共通因数 $(y-1)$ でくくります。

$(x - 1)(y - 1)$

(2) $ab + bc - cd - da$

$a$ でくくり、 $c$ でくくります。

$a(b-d) + c(b-d)$

共通因数 $(b-d)$ でくくります。

$(a+c)(b-d)$

(5) $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ を利用します。

$c^2$ がないので、式は $(a+b+c)^2$ ではありません。

与えられた式は $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$ ですので、並び替えると

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - c^2 = (a+b+c)^2 - c^2$ となります。

差の平方の形になります。

$(a+b+c-c)(a+b+c+c) = (a+b)(a+b+2c)$　ではない。

$(a+b)^2 + 2c(a+b) = (a+b)(a+b+2c)$

(6) $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$

$2x(x+y) -3x - 4y -2$

$2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2 = 0$

$2x^2 + (2y - 3)x - (4y + 2) = 0$

解の公式を利用する。

$x = \frac{-(2y-3) \pm \sqrt{(2y-3)^2 - 4(2)(-4y-2)}}{2(2)} = \frac{-2y+3 \pm \sqrt{4y^2 -12y+9+32y+16}}{4} = \frac{-2y+3 \pm \sqrt{4y^2+20y+25}}{4} = \frac{-2y+3 \pm \sqrt{(2y+5)^2}}{4} = \frac{-2y+3 \pm (2y+5)}{4}$

$x_1 = \frac{-2y+3+2y+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-2y+3-2y-5}{4} = \frac{-4y-2}{4} = \frac{-2y-1}{2}$

$(x-2)(x+\frac{2y+1}{2})=0$

$(x-2)(2x+2y+1)=0$

$(x-2)(2x+2y+1) = 2x^2 + 2xy + x -4x -4y -2 = 2x^2 + 2xy -3x - 4y -2$

よって、$2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2 = (x-2)(2x+2y+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(y - 1)$

(2) $(a + c)(b - d)$

(5) $(a+b)(a+b+2c)$

(6) $(x-2)(2x+2y+1)$