放物線 $y = x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線の方程式が $y = -x^2 - 3x + 3$ となった。このとき、$p, q$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線の方程式が $y = -x^2 - 3x + 3$ となった。このとき、$p, q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$y = (x-p)^2 + q$

次に、$x$ 軸に関して対称移動した放物線の方程式を求める。$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = (x-p)^2 + q$

$y = -(x-p)^2 - q$

この式が $y = -x^2 - 3x + 3$ と等しいので、右辺を展開して比較する。

$y = -(x^2 - 2px + p^2) - q$

$y = -x^2 + 2px - p^2 - q$

$y = -x^2 - 3x + 3$ と係数を比較する。

$2p = -3$

$-p^2 - q = 3$

$2p = -3$ より、

$p = -\frac{3}{2}$

$-p^2 - q = 3$ に $p = -\frac{3}{2}$ を代入する。

$-\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - q = 3$

$-\frac{9}{4} - q = 3$

$-q = 3 + \frac{9}{4}$

$-q = \frac{12}{4} + \frac{9}{4}$

$-q = \frac{21}{4}$

$q = -\frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

$p = -\frac{3}{2}$

$q = -\frac{21}{4}$