2次不等式 $2x^2 + bx + c \ge 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}$, $2 \le x$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $2x^2 + bx + c \ge 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}$, $2 \le x$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式の解から、対応する2次方程式の解が $x = -\frac{1}{2}$, $2$ であることがわかります。

従って、$2x^2 + bx + c = 0$ は、 $2(x + \frac{1}{2})(x - 2) = 0$ と書き換えられます。

これを展開すると、

$2(x^2 - 2x + \frac{1}{2}x - 1) = 0$

$2(x^2 - \frac{3}{2}x - 1) = 0$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

与えられた2次不等式と比較すると、$b = -3$, $c = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$b = -3$

$c = -2$