2次不等式 $\frac{1}{3}x^2 + bx + c < 0$ の解が $-4 < x < 1$ であるとき、定数 $b$ と $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $\frac{1}{3}x^2 + bx + c < 0$ の解が $-4 < x < 1$ であるとき、定数 $b$ と $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の解が $-4 < x < 1$ であることから、方程式 $\frac{1}{3}x^2 + bx + c = 0$ の解が $x = -4$ と $x = 1$ であることがわかります。

次に、2つの解を持つ2次方程式は、$k(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ (ただし$k$は定数、$\alpha$と$\beta$は解)の形で表すことができます。 この問題の場合、解は$-4$と$1$なので、$\frac{1}{3}x^2 + bx + c = \frac{1}{3}(x - (-4))(x - 1) = \frac{1}{3}(x + 4)(x - 1)$ と表せます。

$\frac{1}{3}(x + 4)(x - 1) = \frac{1}{3}(x^2 + 3x - 4) = \frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}$

したがって、 $\frac{1}{3}x^2 + bx + c = \frac{1}{3}x^2 + x - \frac{4}{3}$ なので、$b = 1$、$c = -\frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$b = 1$

$c = -\frac{4}{3}$