次の式を因数分解します。 (4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ (5) $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ (6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の式を因数分解します。

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$

(5) $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$

(6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$

2. 解き方の手順

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ について

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y + 4)x + (2y^2 - y - 6)$

$2y^2 - y - 6$ を因数分解すると、$(2y + 3)(y - 2)$ となります。

よって、$2x^2 + (5y + 4)x + (2y + 3)(y - 2)$

$(x + (2y + 3))(2x + (y - 2)) = 2x^2 + xy - 2x + 4xy + 2y^2 - y + 6x + 3y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 2y - 6$

$(2x + (y + 3))(x + (2y - 2)) = 2x^2 + 4xy - 4x + xy + 2y^2 - 2y + 3x + 6y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 -x + 4y - 6$

$(2x + y + a)(x + 2y + b)$ と置いて展開すると

$2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (a+2b)y + ab$

これと $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を比較すると、

$2b+a = 4$

$a+2b = -1$

$ab = -6$

$a = 4-2b$ なので、

$4 - 2b + 2b = -1$

これは成り立ちません。

たすき掛けで因数分解を試みます。

$(2x + y + 3)(x + 2y - 2) = 2x^2 + 4xy - 4x + xy + 2y^2 - 2y + 3x + 6y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + 4y - 6$

$(2x + y - 2)(x + 2y + 3) = 2x^2 + 4xy + 6x + xy + 2y^2 + 3y - 2x - 4y - 6 = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$

よって、$2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6 = (2x + y - 2)(x + 2y + 3)$

(5) $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ について

$(2x - y + a)(x + y + b)$ と置いて展開すると

$2x^2 + 2xy + 2bx - xy - y^2 - by + ax + ay + ab$

$2x^2 + xy - y^2 + (2b+a)x + (a-b)y + ab$

これと $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を比較すると、

$2b + a = 7$

$a - b = -5$

$ab = -4$

$a = b - 5$ なので、

$2b + b - 5 = 7$

$3b = 12$

$b = 4$

$a = -1$

$ab = -4$

よって、$2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4 = (2x - y - 1)(x + y + 4)$

(6) $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ について

$(2x - y + a)(x + 3y + b)$ と置いて展開すると

$2x^2 + 6xy + 2bx - xy - 3y^2 - by + ax + 3ay + ab$

$2x^2 + 5xy - 3y^2 + (2b+a)x + (3a-b)y + ab$

これと $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を比較すると、

$2b + a = -1$

$3a - b = 11$

$ab = -6$

$a = -1 - 2b$ なので、

$3(-1 - 2b) - b = 11$

$-3 - 6b - b = 11$

$-7b = 14$

$b = -2$

$a = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3$

$ab = -6$

よって、$2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6 = (2x - y + 3)(x + 3y - 2)$

3. 最終的な答え

(4) $(2x + y - 2)(x + 2y + 3)$

(5) $(2x - y - 1)(x + y + 4)$

(6) $(2x - y + 3)(x + 3y - 2)$