$\left(\log_2 x\right)^2 + \left(\log_2 y\right)^2 \le 5$ のとき、$x^2y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$\left(\log_2 x\right)^2 + \left(\log_2 y\right)^2 \le 5$ のとき、$x^2y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2y = k$ とおき、$2\log_2 x + \log_2 y = \log_2 k$ が成り立つ。

$\log_2 x = u, \log_2 y = v$ とおく。すると、与えられた不等式は $u^2 + v^2 \le 5$ となり、求める値は $2u + v = \log_2 k$ となる。

$u^2+v^2 \le 5$ は原点を中心とする半径$\sqrt{5}$の円の内部（境界含む）を表す。

$2u+v = \log_2 k$ は傾きが-2, v切片が$\log_2 k$の直線を表す。

$u^2+v^2 \le 5$を満たすとき、$2u+v$の最大値と最小値を求める問題となる。

$v = -2u + \log_2 k$ と $u^2+v^2 = 5$ が接するとき、$2u+v$は最大値または最小値をとる。

$u^2 + (-2u+\log_2 k)^2 = 5$

$u^2 + 4u^2 -4u\log_2 k + (\log_2 k)^2 = 5$

$5u^2 - 4u\log_2 k + (\log_2 k)^2 - 5 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (-4\log_2 k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot ((\log_2 k)^2 - 5) \ge 0$

$16(\log_2 k)^2 - 20(\log_2 k)^2 + 100 \ge 0$

$-4(\log_2 k)^2 + 100 \ge 0$

$(\log_2 k)^2 \le 25$

$-5 \le \log_2 k \le 5$

$2^{-5} \le k \le 2^5$

$\frac{1}{32} \le k \le 32$

よって、$k$の最大値は32、最小値は1/32。

したがって、$x^2y$ の最大値は32、最小値は1/32。

3. 最終的な答え

最大値: 32

最小値: 1/32