(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ。 (2) $x > 0$ のとき、$\frac{x+2}{x^2 + 2x + 16}$ の最大値を求めよ。また、このときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ。

(2) $x > 0$ のとき、$\frac{x+2}{x^2 + 2x + 16}$ の最大値を求めよ。また、このときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{16}{x+2}$ の最小値を求める。

まず、$x+2$ を作り出すために、式を以下のように変形する。

$x + \frac{16}{x+2} = (x+2) + \frac{16}{x+2} - 2$

ここで、$x > 0$ より $x+2 > 2 > 0$ である。したがって、相加平均・相乗平均の関係が使える。

$(x+2) + \frac{16}{x+2} \ge 2 \sqrt{(x+2) \cdot \frac{16}{x+2}} = 2 \sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$

よって、

$(x+2) + \frac{16}{x+2} - 2 \ge 8 - 2 = 6$

等号成立は $x+2 = \frac{16}{x+2}$ のときである。

$(x+2)^2 = 16$

$x+2 = \pm 4$

$x > 0$ より、$x = 2$

したがって、$x + \frac{16}{x+2}$ の最小値は $6$ である。

(2) $\frac{x+2}{x^2 + 2x + 16}$ の最大値を求める。

$\frac{x+2}{x^2 + 2x + 16} = \frac{x+2}{(x+1)^2 + 15}$

$y = \frac{x+2}{x^2 + 2x + 16}$ とおく。

$y(x^2 + 2x + 16) = x+2$

$yx^2 + 2yx + 16y = x+2$

$yx^2 + (2y-1)x + 16y-2 = 0$

$x$ は実数なので、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (2y-1)^2 - 4y(16y-2) \ge 0$

$4y^2 - 4y + 1 - 64y^2 + 8y \ge 0$

$-60y^2 + 4y + 1 \ge 0$

$60y^2 - 4y - 1 \le 0$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(60)(-1)}}{2(60)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{120} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{120} = \frac{4 \pm 16}{120}$

$y_1 = \frac{4-16}{120} = \frac{-12}{120} = -\frac{1}{10}$, $y_2 = \frac{4+16}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$

よって、$-\frac{1}{10} \le y \le \frac{1}{6}$

したがって、最大値は $\frac{1}{6}$ である。

このとき、$60y^2 - 4y - 1 = 0$ に $y = \frac{1}{6}$ を代入すると、

$yx^2 + (2y-1)x + 16y-2 = 0$

$\frac{1}{6} x^2 + (\frac{2}{6}-1)x + \frac{16}{6} - 2 = 0$

$\frac{1}{6} x^2 - \frac{4}{6} x + \frac{4}{6} = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $6$

(2) 最大値: $\frac{1}{6}$, $x = 2$