与えられた式 $3(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $3(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$3$ を除いて、多項式のペアを賢く選択して展開します。 $(x+1)$ と $(x-3)$、 $(x+2)$ と $(x-4)$ を掛け合わせるのが良いでしょう。

$(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$

$(x+2)(x-4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)$

ここで、$y = x^2 - 2x$ と置換すると、次のようになります。

$(y - 3)(y - 8) = y^2 - 8y - 3y + 24 = y^2 - 11y + 24$

次に、$y$ を $x^2 - 2x$ に置き換えます。

$(x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) + 24 = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (11x^2 - 22x) + 24 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 11x^2 + 22x + 24 = x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24$

最後に、$3$ を掛け合わせます。

$3(x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24) = 3x^4 - 12x^3 - 21x^2 + 66x + 72$

3. 最終的な答え

$3x^4 - 12x^3 - 21x^2 + 66x + 72$