2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、$x$ がすべての実数値をとるとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、$x$ がすべての実数値をとるとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の最小値を求めるために、平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x - 1$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 1$

$y = (x - 1)^2 - 2$

$(x-1)^2$ は常に0以上の値をとります。したがって、$(x-1)^2 \geq 0$ です。

したがって、$y = (x - 1)^2 - 2 \geq -2$ となります。

$y$ は $-2$ 以上のすべての値をとることができます。

なぜなら、$x=1$ のとき、$y = (1-1)^2 - 2 = -2$ となり、$x$ の値を変化させれば、$y$ の値も $-2$ 以上のすべての値をとることができるからです。

3. 最終的な答え

$y \geq -2$