与えられた各二次関数について、定義域内での最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -3x^2 - x - 2$ ($0 \le x \le 2$) (3) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 < x < 0$)

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた各二次関数について、定義域内での最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -3x^2 - x - 2$ ($0 \le x \le 2$)

(3) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 < x < 0$)

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

1. 平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

2. 頂点のx座標が定義域に含まれるかどうかを確認します。

3. 定義域の端点と頂点のy座標を比較し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

平方完成:

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x-1)^2 - 1$

頂点の座標は $(1, -1)$です。頂点のx座標は定義域に含まれます。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0-1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3-1)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$

$x = 1$ のとき、$y = -1$

したがって、最大値は7、最小値は-1です。

(2) $y = -3x^2 - x - 2$ ($0 \le x \le 2$)

平方完成:

$y = -3(x^2 + \frac{1}{3}x) - 2$

$y = -3(x^2 + \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) - 2$

$y = -3((x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36}) - 2$

$y = -3(x + \frac{1}{6})^2 + \frac{1}{12} - 2$

$y = -3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{23}{12}$

頂点の座標は $(-\frac{1}{6}, -\frac{23}{12})$です。頂点のx座標は定義域に含まれません。

$x = 0$ のとき、$y = -3(0)^2 - 0 - 2 = -2$

$x = 2$ のとき、$y = -3(2)^2 - 2 - 2 = -12 - 2 - 2 = -16$

したがって、最大値は-2、最小値は-16です。

(3) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 < x < 0$)

平方完成:

$y = (x^2 + 2x) + 3$

$y = (x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$

$y = (x + 1)^2 - 1 + 3$

$y = (x + 1)^2 + 2$

頂点の座標は $(-1, 2)$です。頂点のx座標は定義域に含まれます。

$x \to -2$ のとき、$y \to (-2 + 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x \to 0$ のとき、$y \to (0 + 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = -1$ のとき、$y = (-1 + 1)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$

したがって、最大値は存在しない（3に限りなく近づく）、最小値は2です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 7, 最小値: -1

(2) 最大値: -2, 最小値: -16

(3) 最大値: なし（3に限りなく近づく）, 最小値: 2