## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

7.(1) 2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

7.(2) 2次方程式 $x^2 + (2k-1)x + k^2 - 3k - 1 = 0$ が実数解をもつように、定数 $k$ の値の範囲を定めよ。

7.(3) 放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ のグラフが共有点をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

7.(4) $x$ についての2次不等式 $x^2 + ax + b \geq 0$ の解が $x \leq -1, 3 \leq x$ となるように、定数 $a$, $b$ の値を定めよ。

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2. 解き方の手順

7.(1) 2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$

$D > 0$ なので、実数解は2個です。

7.(2) 2次方程式 $x^2 + (2k-1)x + k^2 - 3k - 1 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。実数解をもつためには、$D \geq 0$ である必要があります。

$D = (2k-1)^2 - 4(1)(k^2 - 3k - 1) = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k + 4 = 8k + 5$

$8k + 5 \geq 0$ を解くと、$k \geq -\frac{5}{8}$ となります。

7.(3) 放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ が共有点をもたない条件は、$x^2 - 3x + 3 = 2x - a$ が実数解を持たないことです。

$x^2 - 5x + 3 + a = 0$ の判別式 $D < 0$ であればよいです。

$D = (-5)^2 - 4(1)(3+a) = 25 - 12 - 4a = 13 - 4a$

$13 - 4a < 0$ を解くと、$4a > 13$ より $a > \frac{13}{4}$ となります。

7.(4) 2次不等式 $x^2 + ax + b \geq 0$ の解が $x \leq -1, 3 \leq x$ であることから、$x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -1, 3$ である必要があります。したがって、$x^2 + ax + b = (x+1)(x-3) = x^2 -2x -3$ となります。よって、$a = -2$, $b = -3$ となります。

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3. 最終的な答え

7.(1) 2個

7.(2) $k \geq -\frac{5}{8}$

7.(3) $a > \frac{13}{4}$

7.(4) $a = -2$, $b = -3$