(1) 2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = x + 4$ の2つの実数解のうち、大きい方の解を求め、その解の整数部分 $n$ と小数部分 $t$ を求める。さらに、$t - \frac{1}{t}$ と $t^2 + \frac{1}{t^2}$ の値を求める。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、$x$ がすべての実数値をとり得るとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = x + 4$ の2つの実数解のうち、大きい方の解を求め、その解の整数部分 $n$ と小数部分 $t$ を求める。さらに、$t - \frac{1}{t}$ と $t^2 + \frac{1}{t^2}$ の値を求める。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ について、$x$ がすべての実数値をとり得るとき、$y$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2次方程式を整理する。

$x^2 - 2x - 1 = x + 4$

$x^2 - 3x - 5 = 0$

解の公式を用いて、$x$ を求める。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

大きい方の解は $x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$ である。

$\sqrt{29}$ の近似値を求める。

$5^2 = 25$ であり、$6^2 = 36$ であるから、$5 < \sqrt{29} < 6$ である。

$\frac{3 + 5}{2} < \frac{3 + \sqrt{29}}{2} < \frac{3 + 6}{2}$

$4 < \frac{3 + \sqrt{29}}{2} < 4.5$

整数部分は $n = 4$ である。

小数部分は $t = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} - 4 = \frac{3 + \sqrt{29} - 8}{2} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$

$t - \frac{1}{t} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2} - \frac{2}{\sqrt{29} - 5} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2} - \frac{2(\sqrt{29} + 5)}{(\sqrt{29} - 5)(\sqrt{29} + 5)} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2} - \frac{2(\sqrt{29} + 5)}{29 - 25} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2} - \frac{2(\sqrt{29} + 5)}{4} = \frac{\sqrt{29} - 5}{2} - \frac{\sqrt{29} + 5}{2} = \frac{\sqrt{29} - 5 - \sqrt{29} - 5}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$t^2 + \frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 = (-5)^2 + 2 = 25 + 2 = 27$

(2)

$y = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

$x$ がすべての実数値をとり得るので、$(x - 1)^2 \geq 0$ である。

したがって、$y \geq -2$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

$n = 4, t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$

$t - \frac{1}{t} = -5, t^2 + \frac{1}{t^2} = 27$

(2)

$y \geq -2$