2次不等式 $12x^2 - 5x - 3 > 0$ を解きます。

## 問題 6 (1)

1. 問題の内容

2次不等式 $12x^2 - 5x - 3 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $12x^2 - 5x - 3$ を因数分解します。

$12x^2 - 5x - 3 = (3x + 1)(4x - 3)$ となります。

したがって、不等式は $(3x + 1)(4x - 3) > 0$ となります。

この不等式が成立するためには、

(i) $3x + 1 > 0$ かつ $4x - 3 > 0$

または

(ii) $3x + 1 < 0$ かつ $4x - 3 < 0$

のいずれかが成立する必要があります。

(i) の場合:

$3x + 1 > 0$ より $x > -\frac{1}{3}$

$4x - 3 > 0$ より $x > \frac{3}{4}$

したがって、$x > \frac{3}{4}$

(ii) の場合:

$3x + 1 < 0$ より $x < -\frac{1}{3}$

$4x - 3 < 0$ より $x < \frac{3}{4}$

したがって、$x < -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$x < -\frac{1}{3}, x > \frac{3}{4}$

## 問題 6 (2)

1. 問題の内容

2次不等式 $9x^2 - 6x - 1 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $9x^2 - 6x - 1$ の解を求めます。

$9x^2 - 6x - 1 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(9)(-1)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{18} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{3}$

したがって、不等式は $9(x - \frac{1 - \sqrt{2}}{3})(x - \frac{1 + \sqrt{2}}{3}) < 0$ となります。

これは $\frac{1 - \sqrt{2}}{3} < x < \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ を意味します。

3. 最終的な答え

$\frac{1 - \sqrt{2}}{3} < x < \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

## 問題 6 (3)

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

3x+1 > 0 \\

3x^2 + x - 10 \le 0

\end{cases}$

を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$3x+1 > 0$ より $x > -\frac{1}{3}$

次に、$3x^2 + x - 10 \le 0$ を解きます。

$3x^2 + x - 10 = (3x - 5)(x + 2)$

したがって、 $(3x - 5)(x + 2) \le 0$

$-2 \le x \le \frac{5}{3}$

連立不等式を解くと、$-\frac{1}{3} < x \le \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} < x \le \frac{5}{3}$

## 問題 6 (4)

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

x^2 - 4x + 1 \ge 0 \\

-x^2 - x + 12 > 0

\end{cases}$

を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x + 1 \ge 0$ を解きます。

$x^2 - 4x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x \le 2 - \sqrt{3}, x \ge 2 + \sqrt{3}$

次に、$-x^2 - x + 12 > 0$ を解きます。

$x^2 + x - 12 < 0$

$(x + 4)(x - 3) < 0$

$-4 < x < 3$

連立不等式を解くと、

$-4 < x \le 2 - \sqrt{3}$ と $2 + \sqrt{3} \le x < 3$

3. 最終的な答え

$-4 < x \le 2 - \sqrt{3}, \quad 2 + \sqrt{3} \le x < 3$