関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

1. $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$6x^2 + 6x - 12 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

3. $-2 \le x \le 3$ の範囲で、$f(x)$ の増減表を作る。重要な点は、$x = -2, 1, 3$ での $f(x)$ の値を計算すること。

4. $f(-2), f(1), f(3)$ の値を計算する。

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) = -16 + 12 + 24 = 20$

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) = 2 + 3 - 12 = -7$

$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 12(3) = 54 + 27 - 36 = 45$

5. 増減表から、最大値と最小値を判断する。

3. 最終的な答え

最大値: $x = 3$ のとき、45

最小値: $x = 1$ のとき、-7