(1) $(2x-3)^3$ を展開せよ。 (2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x-3)^3$ を展開せよ。

(2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(2x-3)^3$ の展開

二項定理 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を利用します。

$a = 2x$, $b = -3$ とすると、

$(2x-3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(-3) + 3(2x)(-3)^2 + (-3)^3$

$= 8x^3 + 3(4x^2)(-3) + 3(2x)(9) - 27$

$= 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

(2) $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ の因数分解

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の形になっていることに気づきます。

$8x^3 = (2x)^3$ であり、$1 = 1^3$ であることから、$a = 2x$, $b = 1$ と推測できます。

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3$

$= 8x^3 + 3(4x^2) + 3(2x) + 1$

$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

したがって、$8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 = (2x+1)^3$

3. 最終的な答え

(1) $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$

(2) $(2x+1)^3$