(1) 2点A(-1, 4), B(5, -2)間の距離、線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求める問題。 (2) 直線 $l: 3x - 4y + 6 = 0$ と点A(-1, 2)があるとき、点Aを通り$l$に平行な直線の方程式、点Aを通り$l$に垂直な直線の方程式、点Aと$l$の距離を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 2点A(-1, 4), B(5, -2)間の距離、線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求める問題。

(2) 直線 $l: 3x - 4y + 6 = 0$ と点A(-1, 2)があるとき、点Aを通り$l$に平行な直線の方程式、点Aを通り$l$に垂直な直線の方程式、点Aと$l$の距離を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

* 2点間の距離の公式を用いてA, B間の距離を求める。

$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

* 内分点の公式を用いて、線分ABを2:1に内分する点の座標を求める。

$(\frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{2+1}, \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4}{2+1}) = (\frac{10 - 1}{3}, \frac{-4 + 4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{0}{3}) = (3, 0)$

* 外分点の公式を用いて、線分ABを2:1に外分する点の座標を求める。

$(\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1)}{2-1}, \frac{2 \cdot (-2) - 1 \cdot 4}{2-1}) = (\frac{10 + 1}{1}, \frac{-4 - 4}{1}) = (11, -8)$

(2)

* 直線$l$に平行な直線の傾きは$l$の傾きと同じである。$l$の傾きを求める。

$3x - 4y + 6 = 0$を変形すると、$4y = 3x + 6$より、$y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2}$。よって、$l$の傾きは$\frac{3}{4}$。

点A(-1, 2)を通り、傾きが$\frac{3}{4}$の直線の方程式は、

$y - 2 = \frac{3}{4}(x - (-1))$

$y - 2 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

$4y - 8 = 3x + 3$

$3x - 4y + 11 = 0$

* 直線$l$に垂直な直線の傾きは、$l$の傾きの逆数の符号を反転させたものである。したがって、垂直な直線の傾きは$-\frac{4}{3}$。

点A(-1, 2)を通り、傾きが$-\frac{4}{3}$の直線の方程式は、

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$3y - 6 = -4x - 4$

$4x + 3y - 2 = 0$

* 点A(-1, 2)と直線$l: 3x - 4y + 6 = 0$の距離は、点と直線の距離の公式を用いて求める。

$d = \frac{|3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2 + 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-3 - 8 + 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 2点A, B間の距離: $6\sqrt{2}$

線分ABを2:1に内分する点の座標: $(3, 0)$

線分ABを2:1に外分する点の座標: $(11, -8)$

(2) Aを通り$l$に平行な直線の方程式: $3x - 4y + 11 = 0$

Aを通り$l$に垂直な直線の方程式: $4x + 3y - 2 = 0$

Aと$l$の距離: 1