円の中心Oの周りを回転するX線照射装置A, Bがある。 OA, OB, OC, ODは円の半径であり、長さは1m。 $\angle AOC = 45^{\circ}$、$\angle BOD = 37^{\circ}$、$\sin 37^{\circ} = 0.6$、$\cos 37^{\circ} = 0.8$である。 (1) $\tan \angle AOD$の値を求める。 (2) $AB^2$の値を求める。 (3) $\cos \angle AOB$の値を求める。

1. 問題の内容

円の中心Oの周りを回転するX線照射装置A, Bがある。

OA, OB, OC, ODは円の半径であり、長さは1m。

$\angle AOC = 45^{\circ}$、$\angle BOD = 37^{\circ}$、$\sin 37^{\circ} = 0.6$、$\cos 37^{\circ} = 0.8$である。

(1) $\tan \angle AOD$の値を求める。

(2) $AB^2$の値を求める。

(3) $\cos \angle AOB$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOD$について:

$\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$

$\tan \angle AOD = \tan 225^{\circ} = \tan (225^{\circ} - 180^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$

(2) $AB^2$について:

$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOC - \angle BOD = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 37^{\circ} = 98^{\circ}$

余弦定理より、$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB$

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 98^{\circ}$

$\cos 98^{\circ} = \cos (90^{\circ} + 8^{\circ}) = - \sin 8^{\circ}$

$\sin 8^{\circ} \approx 0.139$なので、

$AB^2 = 2 - 2 \cos 98^{\circ} = 2 + 2\sin 8^{\circ} = 2 + 2(0.139) = 2 + 0.278 = 2.278$

（より正確な値を使うと $\sin 8^{\circ} \approx 0.139173$ より $AB^2 \approx 2.278346$)

しかしながら、問題で具体的な近似値が与えられていないため、$\cos 98^{\circ}$をこのまま使うこととする。

$AB^2 = 2 - 2 \cos 98^{\circ}$

(3) $\cos \angle AOB$について:

$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOC - \angle BOD = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 37^{\circ} = 98^{\circ}$

$\cos \angle AOB = \cos 98^{\circ} = \cos (90^{\circ} + 8^{\circ}) = - \sin 8^{\circ}$

$\sin 8^{\circ}$の値が不明なので、cosの加法定理を使うことを考える。

$\angle AOB = 98^\circ$であるから、$\cos \angle AOB = \cos 98^{\circ}$

$\cos 98^{\circ}$ の具体的な数値は不明。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $2 - 2\cos 98^\circ$

(3) $\cos 98^\circ$