与えられた図において、放物線①は点(0, 4)を頂点とし、2点A(-2, 0), B(2, 0)を通る。直線②は点Aを通り、傾きが1である。①と②の点Aと異なる交点をC、②とy軸の交点をDとする。以下の問いに答える。 (1) 放物線①の方程式を求めよ。 (2) 直線②の方程式を求めよ。 (3) 点Cの座標を求めよ。 (4) 2点B, Dを通る直線③の方程式を求めよ。 (5) △ABCの面積を求めよ。 (6) 原点を通る直線で、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた図において、放物線①は点(0, 4)を頂点とし、2点A(-2, 0), B(2, 0)を通る。直線②は点Aを通り、傾きが1である。①と②の点Aと異なる交点をC、②とy軸の交点をDとする。以下の問いに答える。

(1) 放物線①の方程式を求めよ。

(2) 直線②の方程式を求めよ。

(3) 点Cの座標を求めよ。

(4) 2点B, Dを通る直線③の方程式を求めよ。

(5) △ABCの面積を求めよ。

(6) 原点を通る直線で、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線①の方程式を求める。頂点が(0, 4)であるから、放物線の方程式は $y = ax^2 + 4$ と表せる。点(2, 0)を通るので、 $0 = a(2)^2 + 4$ より $4a = -4$ 、よって $a = -1$。したがって、放物線①の方程式は $y = -x^2 + 4$。

(2) 直線②の方程式を求める。点A(-2, 0)を通り、傾きが1の直線であるから、$y - 0 = 1(x - (-2))$ 、よって $y = x + 2$。

(3) 点Cの座標を求める。点Cは放物線①と直線②の交点であるから、連立方程式

$y = -x^2 + 4$

$y = x + 2$

を解く。$x + 2 = -x^2 + 4$ より、$x^2 + x - 2 = 0$ 、$(x + 2)(x - 1) = 0$。$x = -2, 1$。$x = -2$ は点Aのx座標なので、$x = 1$ が点Cのx座標。このとき、$y = 1 + 2 = 3$。よって、点Cの座標は(1, 3)。

(4) 2点B, Dを通る直線③の方程式を求める。点Dは直線②とy軸の交点なので、(0, 2)。よって、点Dの座標は(0, 2)。B(2, 0)とD(0, 2)を通る直線の傾きは $\frac{2 - 0}{0 - 2} = -1$。よって、直線③の方程式は $y = -x + 2$。

(5) △ABCの面積を求める。A(-2, 0), B(2, 0), C(1, 3)である。ABを底辺とすると、底辺の長さは $2 - (-2) = 4$。高さは点Cのy座標の3。よって、△ABCの面積は $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$。

(6) 原点を通る直線で、△ABCの面積を2等分する直線の方程式を求める。△ABCの面積は6なので、面積を2等分する直線の作る三角形の面積は3。原点を通る直線 $y = kx$ が線分ACと交わると仮定すると、交点をPとする。△ABPの面積が3になれば良い。

Pの座標を(x, kx)とすると、△ABPの面積は$\frac{1}{2} * 4 * |kx| = 2|kx| = 3$

$|kx| = \frac{3}{2}$

点Pは線分AC上にあるので

直線ACの式は、傾き $\frac{3-0}{1-(-2)} = 1$ より $y = x+2$

$y = kx$なので、$kx = x+2$

$x(k-1) = 2$

$x = \frac{2}{k-1}$

$y = kx = \frac{2k}{k-1}$

これらは$y=x+2$を満たすので

$\frac{2k}{k-1} = \frac{2}{k-1} + 2$

$2k = 2 + 2(k-1)$

$2k = 2 + 2k -2$

$0=0$

P (x,kx) が線分AC上にあるためには $-2 < x < 1$ である必要がある。

$x = \frac{2}{k-1}$より $-2 < \frac{2}{k-1} < 1$

$-2 < \frac{2}{k-1}$ より $-2k+2 < 2$

$-2k < 0$ より $k > 0$

$\frac{2}{k-1} < 1$より $2 < k-1$

$k > 3$

線分BCと交わる場合について考える。

線分BCの式は、傾き $\frac{3-0}{1-2} = -3$ より $y = -3x+6$

$kx = -3x+6$

$x(k+3) = 6$

$x = \frac{6}{k+3}$

$y = kx = \frac{6k}{k+3}$

これらは$y=-3x+6$を満たすので

$\frac{6k}{k+3} = -3*\frac{6}{k+3} + 6$

$6k = -18 + 6k + 18$

$0=0$

P (x,kx) が線分BC上にあるためには $1 < x < 2$ である必要がある。

$1 < \frac{6}{k+3} < 2$

$1 < \frac{6}{k+3}$より $k+3 < 6$

$k < 3$

$\frac{6}{k+3} < 2$より $6 < 2k+6$

$0 < 2k$ より $k > 0$

以上より $0 < k < 3$

中点Mは $(\frac{-2+2+1}{2}, \frac{0+0+3}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

原点を通って面積を二等分する直線は、中点を通るので $y = 3x$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 4$

(2) $y = x + 2$

(3) (1, 3)

(4) $y = -x + 2$

(5) 6

(6) $y = 3x$