問題は2種類あります。 * 1つ目の問題は、与えられた放物線について、頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。具体的には、 (1) $y = x^2 - 4x - 1$ (2) $y = -2x^2 + 4x + 3$ の2つの放物線について求めます。 * 2つ目の問題は、三角関数の値を計算する問題です。具体的には、 (1) $(\sin 60^\circ + \tan 60^\circ)(\sin 60^\circ - \tan 60^\circ)$ (2) $(\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)^2$ の2つの式について値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2種類あります。

* 1つ目の問題は、与えられた放物線について、頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。具体的には、

(1) $y = x^2 - 4x - 1$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$

の2つの放物線について求めます。

* 2つ目の問題は、三角関数の値を計算する問題です。具体的には、

(1) $(\sin 60^\circ + \tan 60^\circ)(\sin 60^\circ - \tan 60^\circ)$

(2) $(\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)^2$

の2つの式について値を求めます。

2. 解き方の手順

(3) 放物線の頂点の座標と軸の方程式を求める

(1) $y = x^2 - 4x - 1$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 4x) - 1$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) - 1$

$y = (x - 2)^2 - 4 - 1$

$y = (x - 2)^2 - 5$

よって、頂点の座標は $(2, -5)$、軸の方程式は $x = 2$です。

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 2x) + 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = -2((x - 1)^2 - 1) + 3$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 + 3$

$y = -2(x - 1)^2 + 5$

よって、頂点の座標は $(1, 5)$、軸の方程式は $x = 1$です。

(4) 三角関数の値を計算する

(1) $(\sin 60^\circ + \tan 60^\circ)(\sin 60^\circ - \tan 60^\circ)$

これは $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$の形を利用できます。

$(\sin 60^\circ + \tan 60^\circ)(\sin 60^\circ - \tan 60^\circ) = (\sin 60^\circ)^2 - (\tan 60^\circ)^2$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$なので、

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{9}{4}$

(2) $(\sin 30^\circ + \cos 30^\circ)^2$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(3)

(1) 頂点の座標: $(2, -5)$、軸の方程式: $x = 2$

(2) 頂点の座標: $(1, 5)$、軸の方程式: $x = 1$

(4)

(1) $-\frac{9}{4}$

(2) $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$