(1) 周囲の長さが30cmで、面積が36 cm$^2$の長方形の横の長さを求める。ただし、横の長さは縦より長い。 (2) 縦20m、横30mの長方形の花壇に、縦方向に2本、横方向に1本の同じ幅の道を作ると、花壇の面積が408 m$^2$になった。道の幅を求める。

1. 問題の内容

(1) 周囲の長さが30cmで、面積が36 cm$^2$の長方形の横の長さを求める。ただし、横の長さは縦より長い。

(2) 縦20m、横30mの長方形の花壇に、縦方向に2本、横方向に1本の同じ幅の道を作ると、花壇の面積が408 m$^2$になった。道の幅を求める。

2. 解き方の手順

(1)

長方形の縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cmとする。

周囲の長さが30cmなので、

$2(x+y) = 30$

$x+y = 15$

$y = 15-x$

面積が36 cm$^2$なので、

$xy = 36$

$x(15-x) = 36$

$15x-x^2 = 36$

$x^2-15x+36 = 0$

$(x-3)(x-12) = 0$

$x=3, 12$

$x=3$ のとき $y=15-3=12$

$x=12$ のとき $y=15-12=3$

横の長さは縦より長いので、 $x=3$ cm, $y=12$ cmとなる。

したがって、横の長さは12cm。

(2)

道の幅を $x$ mとする。

縦方向に2本、横方向に1本の道があるので、道の総面積は、

$20 \times x \times 2 + 30 \times x - 2x^2 = 40x + 30x - 2x^2 = 70x - 2x^2$

花壇の面積は $20 \times 30 = 600$ m$^2$。

道を作った後の花壇の面積は408 m$^2$なので、

$600 - (70x - 2x^2) = 408$

$2x^2 - 70x + 192 = 0$

$x^2 - 35x + 96 = 0$

$(x-3)(x-32) = 0$

$x=3, 32$

道の幅は20mより小さいので、$x=3$ m

3. 最終的な答え

(1) 12 cm

(2) 3 m