連立方程式 $ax + by = 0$ $cx + dy = 0$ において、$x \neq 0$, $y \neq 0$ となるための条件を求め、その解を式と図で表す。

1. 問題の内容

連立方程式

$ax + by = 0$

$cx + dy = 0$

において、$x \neq 0$, $y \neq 0$ となるための条件を求め、その解を式と図で表す。

2. 解き方の手順

連立方程式

$ax + by = 0$ ...(1)

$cx + dy = 0$ ...(2)

を解く。

(1)より、$ax = -by$。$y \neq 0$より、

$x = -\frac{b}{a}y$ ...(3)

(2)に(3)を代入すると、

$c(-\frac{b}{a}y) + dy = 0$

$-\frac{bc}{a}y + dy = 0$

$(-\frac{bc}{a} + d)y = 0$

$(-\frac{bc}{a} + d) = 0$ ($y \neq 0$ より)

$-\frac{bc}{a} + d = 0$

$ad - bc = 0$

または、

$ad = bc$

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

$x \neq 0$, $y \neq 0$ となるためには、

$ad - bc = 0$

(1)と(2)式より、

$y = -\frac{a}{b}x$

$y = -\frac{c}{d}x$

$ad - bc = 0$を満たす時、2直線は一致する。

解は、$ax + by = 0$または$cx + dy = 0$上の原点以外の全ての点である。

図で表す場合、原点を通る直線となる。

3. 最終的な答え

条件: $ad - bc = 0$

解: $ax + by = 0$上の原点以外の全ての点 ($x \neq 0$, $y \neq 0$)。これは$cx + dy = 0$とも一致する。