(1) ある数に2を加えて2乗した数は、もとの数に8を加えて3倍した数に等しい。もとの数を求めなさい。 (2) 連続した3つの自然数がある。大きいほうの2つの数の積は、もっとも小さい数の2乗より8小さい。この3つの自然数を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) ある数に2を加えて2乗した数は、もとの数に8を加えて3倍した数に等しい。もとの数を求めなさい。

(2) 連続した3つの自然数がある。大きいほうの2つの数の積は、もっとも小さい数の2乗より8小さい。この3つの自然数を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

もとの数を $x$ とすると、問題文より次の式が成り立つ。

$(x+2)^2 = 3(x+8)$

左辺を展開し、式を整理する。

$x^2 + 4x + 4 = 3x + 24$

$x^2 + x - 20 = 0$

因数分解する。

$(x+5)(x-4) = 0$

$x = -5, 4$

(2)

連続する3つの自然数を $n, n+1, n+2$ とする。

大きいほうの2つの数の積は $(n+1)(n+2)$ であり、もっとも小さい数の2乗は $n^2$ である。

問題文より次の式が成り立つ。

$(n+1)(n+2) = n^2 - 8$

左辺を展開し、式を整理する。

$n^2 + 3n + 2 = n^2 - 8$

$3n = -10$

$n = -\frac{10}{3}$

しかし、$n$ は自然数であるため、これは不適である。問題文に誤りがある可能性を考慮し、大きい方の二つの数の積が最も小さい数の二乗に8を足したものと解釈して計算してみる。

$(n+1)(n+2) = n^2 + 8$

$n^2+3n+2 = n^2+8$

$3n = 6$

$n = 2$

よって、連続する3つの自然数は $2, 3, 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-5, 4$

(2) $2, 3, 4$