2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求めます。

## 問題8(1)の解答

1. 問題の内容

2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

2点を通る直線の方程式を求めるには、まず方向ベクトルを求め、その後、点と方向ベクトルを用いて直線の方程式を立てます。

ステップ1：方向ベクトルの計算

2点 $A(-1, 1, 2)$ と $B(2, 1, -2)$ を通る直線の方向ベクトル $\vec{v}$ は、

$\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (2 - (-1), 1 - 1, -2 - 2) = (3, 0, -4)$

となります。

ステップ2：直線の方程式の表現

直線上の任意の点を $P(x, y, z)$ とすると、ベクトル $\vec{AP}$ は方向ベクトル $\vec{v}$ と平行になります。したがって、

$\vec{AP} = t\vec{v}$

と書けます（ここで、$t$ は実数）。

$\vec{AP} = (x - (-1), y - 1, z - 2) = (x + 1, y - 1, z - 2)$

であるので、

$(x + 1, y - 1, z - 2) = t(3, 0, -4)$

したがって、

$x + 1 = 3t$

$y - 1 = 0t = 0$

$z - 2 = -4t$

これらを $t$ について解くと、

$t = \frac{x + 1}{3}$

$y = 1$

$t = \frac{2 - z}{4}$

$t$を消去して、直線の方程式は以下のようになります。

$\frac{x + 1}{3} = \frac{2 - z}{4}$

$y = 1$

したがって、直線の方程式は以下のように表せます。

$\frac{x + 1}{3} = \frac{2 - z}{4}, y = 1$

3. 最終的な答え

2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{x + 1}{3} = \frac{2 - z}{4}, y = 1$

です。

あるいは、

$4(x + 1) = 3(2 - z), y = 1$

$4x + 4 = 6 - 3z, y = 1$

$4x + 3z = 2, y = 1$

と表現することもできます。

## 問題8(2)の解答

1. 問題の内容

3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

3点を通る平面の方程式を求めるには、まず2つのベクトルを求め、それらの外積を計算して法線ベクトルを求めます。その後、法線ベクトルと点を用いて平面の方程式を立てます。

ステップ1：ベクトルの計算

3点 $A(0, -1, 0)$, $B(2, 1, -1)$, $C(3, 3, 0)$ を用いて、2つのベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 1 - (-1), -1 - 0) = (2, 2, -1)$

$\vec{AC} = C - A = (3 - 0, 3 - (-1), 0 - 0) = (3, 4, 0)$

ステップ2：法線ベクトルの計算

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積として計算できます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 4)\vec{i} - (2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3)\vec{j} + (2 \cdot 4 - 2 \cdot 3)\vec{k} = 4\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k} = (4, -3, 2)$

ステップ3：平面の方程式の表現

平面上の任意の点を $P(x, y, z)$ とすると、ベクトル $\vec{AP}$ は法線ベクトル $\vec{n}$ と垂直になります。したがって、

$\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$

$\vec{AP} = (x - 0, y - (-1), z - 0) = (x, y + 1, z)$

であるので、

$(4, -3, 2) \cdot (x, y + 1, z) = 0$

$4x - 3(y + 1) + 2z = 0$

$4x - 3y - 3 + 2z = 0$

$4x - 3y + 2z = 3$

したがって、平面の方程式は以下のようになります。

$4x - 3y + 2z = 3$

3. 最終的な答え

3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式は、

$4x - 3y + 2z = 3$

です。