この問題はベクトルの外積に関する問題です。具体的には、 (1) ベクトルの外積の定義を図と式で説明する。 (2) 基本ベクトル $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ の全ての組み合わせの外積を計算する。 (3) 2つのベクトル $\vec{A} = (a_1, a_2, a_3), \vec{B} = (b_1, b_2, b_3)$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の成分が与えられた式で表されることを、(2)の結果を用いて導出する。

1. 問題の内容

この問題はベクトルの外積に関する問題です。具体的には、

(1) ベクトルの外積の定義を図と式で説明する。

(2) 基本ベクトル $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ の全ての組み合わせの外積を計算する。

(3) 2つのベクトル $\vec{A} = (a_1, a_2, a_3), \vec{B} = (b_1, b_2, b_3)$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の成分が与えられた式で表されることを、(2)の結果を用いて導出する。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの外積の定義

2つのベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ は、以下の性質を持つベクトルとして定義されます。

* $\vec{A} \times \vec{B}$ の大きさは $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$ （$\theta$ は $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角）

* $\vec{A} \times \vec{B}$ の向きは、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ の両方に垂直で、$\vec{A}, \vec{B}, \vec{A} \times \vec{B}$ が右手系をなす。

式で表すと、

$\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)$, $\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

(2) 基本ベクトルの外積

基本ベクトル $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$, $\vec{k} = (0, 0, 1)$ の外積を計算します。

* $\vec{i} \times \vec{i} = (0, 0, 0) = \vec{0}$

* $\vec{j} \times \vec{j} = (0, 0, 0) = \vec{0}$

* $\vec{k} \times \vec{k} = (0, 0, 0) = \vec{0}$

* $\vec{i} \times \vec{j} = (0, 0, 1) = \vec{k}$

* $\vec{j} \times \vec{k} = (1, 0, 0) = \vec{i}$

* $\vec{k} \times \vec{i} = (0, 1, 0) = \vec{j}$

* $\vec{j} \times \vec{i} = (0, 0, -1) = -\vec{k}$

* $\vec{k} \times \vec{j} = (-1, 0, 0) = -\vec{i}$

* $\vec{i} \times \vec{k} = (0, -1, 0) = -\vec{j}$

(3) ベクトルの外積の成分の導出

$\vec{A} = (a_1, a_2, a_3) = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$

$\vec{B} = (b_1, b_2, b_3) = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k})$

$= a_1 b_1 (\vec{i} \times \vec{i}) + a_1 b_2 (\vec{i} \times \vec{j}) + a_1 b_3 (\vec{i} \times \vec{k}) + a_2 b_1 (\vec{j} \times \vec{i}) + a_2 b_2 (\vec{j} \times \vec{j}) + a_2 b_3 (\vec{j} \times \vec{k}) + a_3 b_1 (\vec{k} \times \vec{i}) + a_3 b_2 (\vec{k} \times \vec{j}) + a_3 b_3 (\vec{k} \times \vec{k})$

$= a_1 b_1 (\vec{0}) + a_1 b_2 (\vec{k}) + a_1 b_3 (-\vec{j}) + a_2 b_1 (-\vec{k}) + a_2 b_2 (\vec{0}) + a_2 b_3 (\vec{i}) + a_3 b_1 (\vec{j}) + a_3 b_2 (-\vec{i}) + a_3 b_3 (\vec{0})$

$= (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{i} + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k}$

したがって、

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

3. 最終的な答え

(1) ベクトルの外積の定義は上記参照。

(2)

* $\vec{i} \times \vec{i} = \vec{0}$

* $\vec{j} \times \vec{j} = \vec{0}$

* $\vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}$

* $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$

* $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$

* $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

* $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$

* $\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$

* $\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$

(3) $\vec{A} \times \vec{B} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$