3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求める。 (2) $l_3$ の傾きを求める。 (3) $l_3$ は $a$ の値によらず定点を通る。その座標を求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求める。

(2) $l_3$ の傾きを求める。

(3) $l_3$ は $a$ の値によらず定点を通る。その座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めるには、連立方程式

$2x - y - 2 = 0$

$x + y - 10 = 0$

を解きます。2式を足し合わせると $3x - 12 = 0$ となり、$x = 4$ が得られます。これを $x + y - 10 = 0$ に代入すると、$4 + y - 10 = 0$ より $y = 6$ が得られます。したがって、交点の座標は $(4, 6)$ です。

(2) $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ より $y = ax - 2a + 4$ となるので、$l_3$ の傾きは $a$ です。

(3) $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ を $a$ について整理すると、$a(x - 2) - y + 4 = 0$ となります。これが任意の $a$ について成り立つためには、$x - 2 = 0$ かつ $-y + 4 = 0$ である必要があります。したがって、$x = 2$ かつ $y = 4$ より、$l_3$ は点 $(2, 4)$ を通ります。

3. 最終的な答え

(1) $l_1$ と $l_2$ の交点の座標は $(4, 6)$

(2) $l_3$ の傾きは $a$

(3) $l_3$ は点 $(2, 4)$ を通る