問題は、平面上の3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ について、それらの交点の座標や直線の傾き、平行条件、直角三角形が作れる条件などを求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、平面上の3つの直線 $l_1: 2x - y - 2 = 0$, $l_2: x + y - 10 = 0$, $l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ について、それらの交点の座標や直線の傾き、平行条件、直角三角形が作れる条件などを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$l_1$ と $l_2$ の交点の座標を求めます。

$2x - y - 2 = 0$ と $x + y - 10 = 0$ の連立方程式を解くと、

$3x - 12 = 0$ より $x = 4$。

$y = 10 - x = 10 - 4 = 6$。

したがって、$l_1$ と $l_2$ の交点の座標は $(4, 6)$ であり、これが「ア」の答えです。

次に、$l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ の傾きを求めます。

$y = ax - 2a + 4$ より、傾きは $a$ であり、これが「ウ」の答えです。

$l_3: ax - y - 2a + 4 = 0$ は $a(x-2) - y + 4 = 0$ と変形できます。

$a$ の値によらず $x - 2 = 0$ かつ $-y + 4 = 0$ が成り立つとき、この直線は定点を通ります。

$x = 2$ かつ $y = 4$ なので、定点 $(2, 4)$ を通ります。これが「エ」の答えです。

次に、$l_1$ と $l_3$ が平行になる条件を求めます。

$l_1$ の傾きは $2$, $l_3$ の傾きは $a$ なので、$a = 2$ のとき $l_1$ と $l_3$ は平行です。これが「オ」の答えです。

次に、$l_2$ と $l_3$ が平行になる条件を求めます。

$l_2$ の傾きは $-1$, $l_3$ の傾きは $a$ なので、$a = -1$ のとき $l_2$ と $l_3$ は平行です。これが「カキ」の答えです。

3. 最終的な答え

ア：(4, 6)

ウ：a

エ：(2, 4)

オ：2

カキ：-1