三角形OABがあり、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。 $\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。3点O, P, Eが同一直線上にあるときの$t$の値を求め、$\vec{OP}$を$\vec{OE}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、辺OAを2:1に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABを3:2に内分する点をEとする。

$\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表し、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。3点O, P, Eが同一直線上にあるときの$t$の値を求め、$\vec{OP}$を$\vec{OE}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

CはOAを2:1に内分するので、$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$

DはOBを1:3に内分するので、$\vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{OB}$

EはABを3:2に内分するので、$\vec{OE} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

次に、線分CDを$t:(1-t)$に内分する点をPとする。

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OC} + t\vec{OD} = (1-t)\frac{2}{3}\vec{OA} + t\frac{1}{4}\vec{OB} = \frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB}$

3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$\vec{OP} = k\vec{OE}$となる実数$k$が存在する。

$\vec{OP} = \frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB} = k(\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、

$\frac{2(1-t)}{3} = \frac{2k}{5}$かつ$\frac{t}{4} = \frac{3k}{5}$

$1-t = \frac{3k}{5}$かつ$t = \frac{12k}{5}$

$1 = \frac{3k}{5} + \frac{12k}{5} = \frac{15k}{5} = 3k$

$k = \frac{1}{3}$

$t = \frac{12}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$

よって、$t = \frac{4}{5}$

$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OE}$

3. 最終的な答え

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$

$\vec{OD} = \frac{1}{4}\vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{2(1-t)}{3}\vec{OA} + \frac{t}{4}\vec{OB}$

$t = \frac{4}{5}$

$\vec{OP} = \frac{1}{3}\vec{OE}$

ア：2

イ：3

ウ：1

エ：4

オ：2

キ：3

カ：5

ク：2

ケ：3

コ：1

サ：1

シ：4

ス：4

セ：5

ソ：1

タ：3