## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた図形において、点線で示された対角線の長さを求める問題です。具体的には、以下の6つの立体図形における対角線の長さを計算します。

(1) - (6)それぞれの対角線の長さを計算します。

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2. 解き方の手順

各問題に対して三平方の定理を繰り返し用いて対角線の長さを計算します。

(1) 対角線 $FG$ の長さをまず求めます。 $FG = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$

求める対角線の長さは $AG$ なので、

$AG = \sqrt{(\sqrt{41})^2 + 2^2} = \sqrt{41+4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

(2) 対角線 $FG$ の長さをまず求めます。 $FG = \sqrt{2^2 + \sqrt{15}^2} = \sqrt{4+15} = \sqrt{19}$

求める対角線の長さは $AG$ なので、

$AG = \sqrt{(\sqrt{19})^2 + 3^2} = \sqrt{19+9} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

(3) 対角線 $FG$ の長さをまず求めます。 $FG = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+12} = \sqrt{24}=2\sqrt{6}$

求める対角線の長さは $AG$ なので、

$AG = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{24+12} = \sqrt{36} = 6$

(4) $M$ は $AB$ の中点なので、$AM = MB = 3$ です。

対角線 $MG$ の長さをまず求めます。 $MG = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72}=6\sqrt{2}$

求める対角線の長さは $MG$ なので、

$MG = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9$

(5) $BP:PF=1:3$ より $BP = 3$、$PF = 9$　$DQ:QH=2:1$ より $DQ = 2$、$QH=1$

$FG = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

求める対角線の長さは $PQ$ なので、

$PQ = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (12-2-3)^2} = \sqrt{45+49} = \sqrt{94}$

(6) $M$ は $DE$ の中点なので、$ME = 4$

$MF = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64+16} = \sqrt{80}=4\sqrt{5}$

求める対角線の長さは $MC$ なので、

$MC = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 + 8^2} = \sqrt{80+64} = \sqrt{144} = 12$

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3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{5}$

(2) $2\sqrt{7}$

(3) $6$

(4) $9$

(5) $\sqrt{94}$

(6) $12$