問題26は、平行四辺形ABCDにおいて、AE:ED = 2:1のとき、 (1) $\triangle DEF : \triangle DFC$ (2) $\triangle DEF : $四角形ABCD の面積比を求める問題です。

1. 問題の内容

問題26は、平行四辺形ABCDにおいて、AE:ED = 2:1のとき、

(1) $\triangle DEF : \triangle DFC$

(2) $\triangle DEF :$四角形ABCD

の面積比を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DEF$ と $\triangle DFC$ の面積比について考えます。

$\triangle DEF$ と $\triangle DFC$ は底辺をそれぞれ $EF$ と $FC$ と考えると、高さは共通です。したがって、面積比は底辺の比に等しくなります。

$AE:ED = 2:1$より、$ED = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}BC$です。$\triangle DEF$と$\triangle BCF$は相似で、相似比は$ED:BC = \frac{1}{3}BC : BC = 1:3$です。したがって、$EF:FC = 1:3$なので、$\triangle DEF : \triangle DFC = 1:3$です。

(2) $\triangle DEF$ と四角形ABCDの面積比について考えます。

平行四辺形ABCDの面積を$S$とします。

$\triangle DEF$の面積を$S_{DEF}$とします。

平行四辺形ABCDの面積は$S = AD \cdot h$ (hは高さ)で表されます。

$\triangle DEF = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot DF \cdot \sin(\angle EDF)$となります。

$AE:ED = 2:1$なので、$AD = AE + ED = 3ED$

また、$AD \parallel BC$より、$\triangle DEF \sim \triangle CBF$であり、$DE:CB = 1:3$なので、$DF:CF = 1:3$です。

$DC = AB$ で、$AB=CD=EF+FC$ であり、$DF=\frac{1}{4}DC$です。

$S_{DEF} = \frac{1}{2} ED \cdot h' = \frac{1}{2}\frac{1}{3}AD \frac{1}{4}DC \sin \angle ADC = \frac{1}{24}S$ (h'は点EからDFに下ろした垂線の長さです)

したがって、$\triangle DEF:$四角形ABCD$= \frac{1}{24}S : S = 1:24$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DEF : \triangle DFC = 1:3$

(2) $\triangle DEF :$四角形ABCD $= 1:24$