図において、$OA=OB=OP$のとき、$\angle x$の大きさを求める。$\angle AOB$の外角は$190^\circ$である。

1. 問題の内容

図において、$OA=OB=OP$のとき、$\angle x$の大きさを求める。$\angle AOB$の外角は$190^\circ$である。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AOB$の大きさを求める。$\angle AOB$の外角が$190^\circ$なので、

$\angle AOB = 360^\circ - 190^\circ = 170^\circ$。

次に、$\triangle OAP$と$\triangle OBP$はそれぞれ二等辺三角形であるから、

$\angle OAP = \angle OPA$、$\angle OBP = \angle OPB$。

ここで、$\angle OAP = \angle OPA = a$、$\angle OBP = \angle OPB = b$とする。

$\triangle AOB$において、$OA=OB$より、$\triangle AOB$も二等辺三角形であるから、

$\angle OAB = \angle OBA$。

$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 170^\circ}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$。

$\angle PAB = a + 5^\circ$、$\angle PBA = b + 5^\circ$。

四角形$AOBP$の内角の和は$360^\circ$なので、

$\angle AOB + \angle OBP + \angle BPA + \angle PAO = 360^\circ$。

$170^\circ + b + x + a = 360^\circ$。

$\triangle APB$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^\circ$。

$(a + 5^\circ) + (b + 5^\circ) + x = 180^\circ$。

$a + b + x + 10^\circ = 180^\circ$。

$a + b + x = 170^\circ$。

$170^\circ + x + (a+b) = 360^\circ$なので、

$a+b = 360^\circ - 170^\circ - x = 190^\circ - x$。

これを$a + b + x = 170^\circ$に代入すると、

$(190^\circ - x) + x = 170^\circ$。

$190^\circ = 170^\circ$となり矛盾が生じる。

別の解き方：

$\angle AOB = 360^\circ - 190^\circ = 170^\circ$

$\triangle AOB$において、$OA=OB$より、$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 170^\circ)/2 = 5^\circ$

$\triangle OAP$において、$OA=OP$より、$\angle OAP = \angle OPA = x$

$\triangle OBP$において、$OB=OP$より、$\angle OBP = \angle OPB = y$とする。

$\angle PAB = x + 5^\circ$, $\angle PBA = y + 5^\circ$

$\triangle PAB$において、$(x+5^\circ) + (y+5^\circ) + x + y = 180^\circ$

$2x + 2y + 10^\circ = 180^\circ$

$2(x+y) = 170^\circ$

$x+y = 85^\circ$

$\angle APB = x+y$

$\angle APB = 85^\circ$

3. 最終的な答え

85°