(1) 2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求める。 (2) 3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求める。

(2) 3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $(-1, 1, 2)$ と $(2, 1, -2)$ を通る直線の方程式を求める。

直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は、2点の座標の差で与えられる。

$\vec{d} = (2 - (-1), 1 - 1, -2 - 2) = (3, 0, -4)$

直線上の点を $(-1, 1, 2)$ とする。

すると、直線の方程式は媒介変数 $t$ を用いて次のように表される。

$\vec{r} = (-1, 1, 2) + t(3, 0, -4)$

したがって、

$x = -1 + 3t$

$y = 1 + 0t = 1$

$z = 2 - 4t$

媒介変数 $t$ を消去すると、以下の方程式が得られる。

$\frac{x + 1}{3} = \frac{z - 2}{-4}$

$y = 1$

(2) 3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ を含む平面の方程式を求める。

3点 $(0, -1, 0)$, $(2, 1, -1)$, $(3, 3, 0)$ をそれぞれ A, B, C とする。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で与えられる。

$\vec{AB} = (2 - 0, 1 - (-1), -1 - 0) = (2, 2, -1)$

$\vec{AC} = (3 - 0, 3 - (-1), 0 - 0) = (3, 4, 0)$

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2, 2, -1) \times (3, 4, 0) = (2 * 0 - (-1) * 4, (-1) * 3 - 2 * 0, 2 * 4 - 2 * 3) = (4, -3, 2)$

平面上の点として $(0, -1, 0)$ を用いると、平面の方程式は次のようになる。

$4(x - 0) - 3(y - (-1)) + 2(z - 0) = 0$

$4x - 3(y + 1) + 2z = 0$

$4x - 3y - 3 + 2z = 0$

$4x - 3y + 2z = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x + 1}{3} = \frac{z - 2}{-4}, y = 1$

(2) $4x - 3y + 2z = 3$