$\tan \theta = -3$ かつ $\cos \theta > 0$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta$ (2) $\sin 2\theta$ (3) $\tan 2\theta$

1. 問題の内容

$\tan \theta = -3$ かつ $\cos \theta > 0$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta$

(2) $\sin 2\theta$

(3) $\tan 2\theta$

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -3$ かつ $\cos \theta > 0$ という条件から、$\theta$ は第4象限の角であることがわかる。

(1) $\sin \theta$ の値を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -3$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係式を使う。

$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{1}{(-3)^2 + 1} = \frac{1}{10}$

$\cos \theta > 0$ より、$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = -3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\sin 2\theta$ の値を求める。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = 2 \cdot \left(-\frac{30}{100}\right) = -\frac{60}{100} = -\frac{3}{5}$

(3) $\tan 2\theta$ の値を求める。

$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(-3)}{1 - (-3)^2} = \frac{-6}{1 - 9} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\sin 2\theta = -\frac{3}{5}$

(3) $\tan 2\theta = \frac{3}{4}$