三角形ABCの辺AC, AB上にそれぞれ点D, Eがあり、$BC=3$, $CD=DE=2$, $EB=5$, $\angle ABC = \angle ADE$を満たすとき、 (1) $\triangle ABC$と$\triangle ADE$の相似比を求め、 $AB = AE+5$, $AC = AD+2$を用いると、$3AD-2AE = \text{ウエ}$、$\text{オカ}AD+3AE = 4$が得られ、$AD=\frac{\text{キク}}{\text{ケ}}$, $AE=\frac{\text{コサ}}{\text{シ}}$となる。空欄を埋めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺AC, AB上にそれぞれ点D, Eがあり、$BC=3$, $CD=DE=2$, $EB=5$, $\angle ABC = \angle ADE$を満たすとき、

(1) $\triangle ABC$と$\triangle ADE$の相似比を求め、

$AB = AE+5$, $AC = AD+2$を用いると、$3AD-2AE = \text{ウエ}$、$\text{オカ}AD+3AE = 4$が得られ、$AD=\frac{\text{キク}}{\text{ケ}}$, $AE=\frac{\text{コサ}}{\text{シ}}$となる。空欄を埋めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$と$\triangle ADE$において、$\angle ABC = \angle ADE$であり、$\angle BAC$は共通なので、$\triangle ABC \sim \triangle ADE$である。

相似比は$BC:DE=3:2$なので、$\triangle ABC$と$\triangle ADE$の相似比は$3:2$。

(2) $\triangle ABC \sim \triangle ADE$より、$AB:AD = AC:AE = BC:DE=3:2$

$2AB=3AD$、$2AC=3AE$

$AB=AE+5$、$AC=AD+2$より、$2(AE+5)=3AD$、$2(AD+2)=3AE$

$2AE+10=3AD$、$2AD+4=3AE$

$3AD-2AE=10$

$2AD-3AE=-4$より、$2AD+4=3AE$だから、$2AD - 3AE = -4$より$-2AD+3AE=4$となる。

$3AD-2AE=10$

$-2AD+3AE=4$

2式を連立して解く。

$3(3AD-2AE)=3(10)$より、$9AD-6AE=30$

$2(-2AD+3AE)=2(4)$より、$-4AD+6AE=8$

$9AD-6AE+(-4AD+6AE)=30+8$

$5AD=38$

$AD=\frac{38}{5}$

$3AD-2AE=10$に代入すると、$3(\frac{38}{5}) - 2AE = 10$

$\frac{114}{5} - 2AE = 10 = \frac{50}{5}$

$2AE = \frac{114}{5} - \frac{50}{5} = \frac{64}{5}$

$AE = \frac{32}{5}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$と$\triangle ADE$の相似比は$3:2$

$3AD-2AE=10$

$2AD-3AE=-4$

$AD = \frac{38}{5}$

$AE = \frac{32}{5}$