与えられた三角関数の問題は以下の通りです。 1. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題は以下の通りです。

1. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

3. $\triangle ABC$ において、$b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3} - 1, A = 135^\circ$ のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

4. $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。$a = 3, b = 2, c = \sqrt{10}$

5. $\triangle ABC$ において、$AB = 4, AC = 3, A = 60^\circ$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

1. $\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{\sqrt{7}}{4} \right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ なので、$\cos \theta = \pm \frac{3}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$\cos \theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\tan \theta = \frac{\sqrt{7}/4}{-3/4} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

2. $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、

(1) $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \left( \frac{1}{3} \right) \left( 1 - \left( -\frac{4}{9} \right) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{13}{9} \right) = \frac{13}{27}$

3. 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) \cos 135^\circ$

$a^2 = 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 6 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3} - 1) = 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2 = 4$

$a = 2$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

4. ヘロンの公式より、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3 + 2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{5 + \sqrt{10}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2} \left( \frac{5+\sqrt{10}}{2} - 3 \right) \left( \frac{5+\sqrt{10}}{2} - 2 \right) \left( \frac{5+\sqrt{10}}{2} - \sqrt{10} \right)}$

$S = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2} \left( \frac{-1+\sqrt{10}}{2} \right) \left( \frac{1+\sqrt{10}}{2} \right) \left( \frac{5-\sqrt{10}}{2} \right)} = \sqrt{\frac{(25-10)(10-1)}{16}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 9}{16}} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

5. $\angle A$ の二等分線なので、角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 4:3$

$BC = a$ であり、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A = 4^2 + 3^2 - 2(4)(3) \cos 60^\circ = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

$BD = \frac{4}{4+3} BC = \frac{4}{7} \sqrt{13}$

余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD) \cos 30^\circ$

$\left( \frac{4}{7} \sqrt{13} \right)^2 = 4^2 + AD^2 - 2(4)(AD) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

$\frac{16 \cdot 13}{49} = 16 + AD^2 - 4\sqrt{3} AD$

$AD^2 - 4\sqrt{3} AD + 16 - \frac{208}{49} = 0$

$49AD^2 - 196 \sqrt{3} AD + 784 - 208 = 0$

$49AD^2 - 196 \sqrt{3} AD + 576 = 0$

$AD = \frac{196\sqrt{3} \pm \sqrt{(196\sqrt{3})^2 - 4(49)(576)}}{2(49)} = \frac{196\sqrt{3} \pm \sqrt{112896 - 112896}}{98}$

$AD = \frac{196 \sqrt{3}}{98} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

1. $\cos \theta = \frac{3}{4}, \tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$ または $\cos \theta = -\frac{3}{4}, \tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

2. (1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$

3. $a=2, B=30^\circ, C=15^\circ$

4. $S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

5. $AD = 2\sqrt{3}$