空間内の5点 $A(a, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(-a, 0, 0)$, $D(0, -a, 0)$, $E(0, 0, 2a)$ を頂点とする正四角錐を考える。3辺 $EB$, $EC$, $ED$ 上に $\overrightarrow{EF} = t\overrightarrow{EB}$, $\overrightarrow{EG} = s\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{EH} = t\overrightarrow{ED}$ となる3点 $F$, $G$, $H$ をとる。ただし、$0 < s \leq 1$, $0 < t \leq 1$ とする。線分 $AG$ と線分 $FH$ は交点 $I$ をもつとする。 (1) $I$ の座標を $a$ と $t$ で表せ。 (2) $t$ を $s$ で表せ。 (3) $\overrightarrow{BI} \perp \overrightarrow{DI}$ のとき、$s$ の値を求めよ。 (4) $\overrightarrow{BI} \perp \overrightarrow{DI}$ とする。$\angle BGD = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

空間内の5点 $A(a, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(-a, 0, 0)$, $D(0, -a, 0)$, $E(0, 0, 2a)$ を頂点とする正四角錐を考える。3辺 $EB$, $EC$, $ED$ 上に $\overrightarrow{EF} = t\overrightarrow{EB}$, $\overrightarrow{EG} = s\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{EH} = t\overrightarrow{ED}$ となる3点 $F$, $G$, $H$ をとる。ただし、$0 < s \leq 1$, $0 < t \leq 1$ とする。線分 $AG$ と線分 $FH$ は交点 $I$ をもつとする。

(1) $I$ の座標を $a$ と $t$ で表せ。

(2) $t$ を $s$ で表せ。

(3) $\overrightarrow{BI} \perp \overrightarrow{DI}$ のとき、$s$ の値を求めよ。

(4) $\overrightarrow{BI} \perp \overrightarrow{DI}$ とする。$\angle BGD = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $F, G, H$ の座標を求める。

$\overrightarrow{EF} = t \overrightarrow{EB}$ より、

$\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = t (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OE})$

$\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OE} + t \overrightarrow{OB} - t \overrightarrow{OE} = t \overrightarrow{OB} + (1-t) \overrightarrow{OE}$

$F(0, at, 2a(1-t))$

$\overrightarrow{EG} = s \overrightarrow{EC}$ より、

$\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OE} = s (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OE})$

$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + s \overrightarrow{OC} - s \overrightarrow{OE} = s \overrightarrow{OC} + (1-s) \overrightarrow{OE}$

$G(-as, 0, 2a(1-s))$

$\overrightarrow{EH} = t \overrightarrow{ED}$ より、

$\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OE} = t (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OE})$

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OE} + t \overrightarrow{OD} - t \overrightarrow{OE} = t \overrightarrow{OD} + (1-t) \overrightarrow{OE}$

$H(0, -at, 2a(1-t))$

次に、線分 $AG$ 上の点を $P$ とすると、実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k \overrightarrow{OG} = (1-k) \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -as \\ 0 \\ 2a(1-s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(1-k-ks) \\ 0 \\ 2ak(1-s) \end{pmatrix}$

線分 $FH$ 上の点を $Q$ とすると、実数 $l$ を用いて

$\overrightarrow{OQ} = (1-l)\overrightarrow{OF} + l \overrightarrow{OH} = (1-l) \begin{pmatrix} 0 \\ at \\ 2a(1-t) \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} 0 \\ -at \\ 2a(1-t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ at(1-2l) \\ 2a(1-t) \end{pmatrix}$

$I$ は $AG$ と $FH$ の交点なので、$\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}$ となる。よって、

$a(1-k-ks) = 0$

$0 = at(1-2l)$

$2ak(1-s) = 2a(1-t)$

$a \neq 0, t \neq 0$ より、

$1 - k - ks = 0$

$1 - 2l = 0$

$k(1-s) = 1 - t$

$l = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1-t}{1-s}$

$1 - \frac{1-t}{1-s} - s \frac{1-t}{1-s} = 0$

$(1-s) - (1-t) - s(1-t) = 0$

$1-s - 1 + t - s + st = 0$

$t - 2s + st = 0$

$t = \frac{2s}{1+s}$

$I$ の座標は $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a(1-t) \end{pmatrix}$ である。

$t = \frac{2s}{1+s}$ より、

$I(0, 0, 2a (1 - \frac{2s}{1+s})) = (0, 0, \frac{2a(1-s)}{1+s})$

(2)

(1)より $t = \frac{2s}{1+s}$

(3)

$\overrightarrow{BI} = \begin{pmatrix} 0 \\ -a \\ \frac{2a(1-s)}{1+s} \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DI} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ \frac{2a(1-s)}{1+s} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{DI} = -a^2 + \frac{4a^2(1-s)^2}{(1+s)^2} = 0$

$-1 + \frac{4(1-s)^2}{(1+s)^2} = 0$

$4(1-s)^2 = (1+s)^2$

$2(1-s) = \pm (1+s)$

$2 - 2s = 1 + s$ または $2 - 2s = -1 - s$

$1 = 3s$ または $3 = s$

$s = \frac{1}{3}$ または $s = 3$

$0 < s \leq 1$ より、 $s = \frac{1}{3}$

(4)

$s = \frac{1}{3}$ のとき、$t = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}$

$G(-\frac{a}{3}, 0, \frac{4a}{3}), B(0, a, 0), D(0, -a, 0)$

$\overrightarrow{BG} = \begin{pmatrix} -a/3 \\ -a \\ 4a/3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{DG} = \begin{pmatrix} -a/3 \\ a \\ 4a/3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{DG} = \frac{a^2}{9} - a^2 + \frac{16a^2}{9} = \frac{8a^2}{9}$

$|\overrightarrow{BG}| = \sqrt{\frac{a^2}{9} + a^2 + \frac{16a^2}{9}} = \sqrt{\frac{26a^2}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3} a$

$|\overrightarrow{DG}| = \sqrt{\frac{a^2}{9} + a^2 + \frac{16a^2}{9}} = \sqrt{\frac{26a^2}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3} a$

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{DG}}{|\overrightarrow{BG}| |\overrightarrow{DG}|} = \frac{\frac{8a^2}{9}}{\frac{26a^2}{9}} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $I(0, 0, \frac{2a(1-s)}{1+s})$

(2) $t = \frac{2s}{1+s}$

(3) $s = \frac{1}{3}$

(4) $\cos \theta = \frac{4}{13}$