直線 $l: y = -x + 7$ と直線 $m: y = 2x + 1$ があり、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とする。このとき、三角形 ABC の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -x + 7$ と直線 $m: y = 2x + 1$ があり、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とする。このとき、三角形 ABC の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点A、点B、点Cの座標をそれぞれ求める。

* 点Aは直線 $l: y = -x + 7$ と $x$ 軸 ($y=0$) の交点なので、$-x + 7 = 0$ より $x = 7$。よって、Aの座標は $(7, 0)$。

* 点Bは直線 $m: y = 2x + 1$ と $x$ 軸 ($y=0$) の交点なので、$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$。よって、Bの座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$。

* 点Cは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 7$

$y = 2x + 1$

$-x + 7 = 2x + 1$ より $3x = 6$, $x = 2$。

$y = -2 + 7 = 5$。

よって、Cの座標は $(2, 5)$。

次に、三角形ABCの面積を求める。

A $(7,0)$、B $(-\frac{1}{2}, 0)$、C $(2, 5)$ である。

三角形ABCの底辺をABとすると、ABの長さは $7 - (-\frac{1}{2}) = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$。

高さは点Cのy座標である5。

したがって、三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times \frac{15}{2} \times 5 = \frac{75}{4}$。

3. 最終的な答え

Aの座標は $(7, 0)$

Bの座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$

Cの座標は $(2, 5)$

三角形ABCの面積は $\frac{75}{4}$