三角形ABCにおいて、$AB = AC = 2$, $\angle BAC = 30^\circ$である。辺AB上に$\angle BCD = 45^\circ$となる点Dを、辺AC上に$\angle CBE = 60^\circ$となる点Eをとる。線分BEと線分CDの交点をFとする。以下のものを求めよ。 (1) 三角形ABCの面積S (2) $\sin 75^\circ$とBCの長さ (3) BDの長さ (4) CEの長さ (5) CFの長さ (6) 三角形DEFの面積T

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = AC = 2$, $\angle BAC = 30^\circ$である。辺AB上に$\angle BCD = 45^\circ$となる点Dを、辺AC上に$\angle CBE = 60^\circ$となる点Eをとる。線分BEと線分CDの交点をFとする。以下のものを求めよ。

(1) 三角形ABCの面積S

(2) $\sin 75^\circ$とBCの長さ

(3) BDの長さ

(4) CEの長さ

(5) CFの長さ

(6) 三角形DEFの面積T

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$を用いる。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

(2) $\sin 75^\circ$とBCの長さを求める。

$\sin 75^\circ = \sin (30^\circ + 45^\circ)$

三角関数の加法定理より

$\sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ \cos 45^\circ + \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

余弦定理より$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = 4 + 4 - 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 - 4\sqrt{3}$

$BC = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

(3) BDの長さを求める。

$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$

$\angle DBC = \angle ABC - \angle CBE = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ$

$\angle BCD = 45^\circ$

$\angle BDC = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$

正弦定理より、$\frac{BD}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 120^\circ}$

$BD = \frac{BC \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) CEの長さを求める。

$\angle BCE = \angle ACB - \angle BCD = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$

$\angle CBE = 60^\circ$

$\angle BEC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

$\triangle BCE$は直角三角形である。

$\frac{CE}{BC} = \cos 30^\circ$

$CE = BC \cos 30^\circ = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

(5) CFの長さを求める。

$\angle FBC = 60^\circ, \angle FCB = 45^\circ$, $\angle BFC = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

正弦定理より$\frac{CF}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 75^\circ}$

$CF = \frac{BC \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2\sqrt{3}\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = 2\sqrt{3} \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{6 - 2} = 2\sqrt{3} \frac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{4} = 2\sqrt{3} \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6$

(6) 三角形DEFの面積Tを求める。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ABC = 1$

(2) $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, $BC = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

(3) $BD = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) $CE = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

(5) $CF = 4\sqrt{3} - 6$

(6)