直線 $l: x + 2y + 9 = 0$ と直線 $m: -x + y + 6 = 0$ があり、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A, 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B, 直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とするとき、三角形 ABC の面積を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: x + 2y + 9 = 0$ と直線 $m: -x + y + 6 = 0$ があり、直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A, 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B, 直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とするとき、三角形 ABC の面積を求めます。

2. 解き方の手順

* 点 A の座標を求める

点 A は直線 $l: x + 2y + 9 = 0$ と $x$ 軸 $(y = 0)$ の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$x + 2(0) + 9 = 0$ より $x = -9$ となります。よって、A の座標は $(-9, 0)$ です。

* 点 B の座標を求める

点 B は直線 $m: -x + y + 6 = 0$ と $x$ 軸 $(y = 0)$ の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$-x + 0 + 6 = 0$ より $x = 6$ となります。よって、B の座標は $(6, 0)$ です。

* 点 C の座標を求める

点 C は直線 $l: x + 2y + 9 = 0$ と直線 $m: -x + y + 6 = 0$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$x + 2y + 9 = 0$

$-x + y + 6 = 0$

2 つの式を足し合わせると $3y + 15 = 0$ より $y = -5$ となります。これを 2 番目の式に代入すると $-x + (-5) + 6 = 0$ より $x = 1$ となります。よって、C の座標は $(1, -5)$ です。

* 三角形 ABC の面積を求める

A $(-9, 0)$, B $(6, 0)$, C $(1, -5)$ であるから、ABを底辺と考えると、底辺の長さは$|6 - (-9)| = 15$となります。高さは点Cのy座標の絶対値なので$|-5| = 5$となります。

したがって、三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2} \times 15 \times 5 = \frac{75}{2} = 37.5$ となります。

3. 最終的な答え

ア: $(-9, 0)$

イ: $(6, 0)$

ウ: $(1, -5)$

エ: $37.5$