直線 $l: y = -x + 7$ と直線 $m: y = 2x + 1$ が与えられている。直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と $m$ の交点を C とする。このとき、三角形 ABC の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = -x + 7$ と直線 $m: y = 2x + 1$ が与えられている。直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と $m$ の交点を C とする。このとき、三角形 ABC の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点A, B, C の座標を求める。

* **点 A の座標:** 直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = -x + 7$ に代入する。

$0 = -x + 7$

$x = 7$

したがって、A の座標は $(7, 0)$ である。

* **点 B の座標:** 直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = 2x + 1$ に代入する。

$0 = 2x + 1$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、B の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ である。

* **点 C の座標:** 直線 $l$ と $m$ の交点なので、$y = -x + 7$ と $y = 2x + 1$ を連立させて解く。

$-x + 7 = 2x + 1$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = -2 + 7 = 5$

したがって、C の座標は $(2, 5)$ である。

次に、三角形 ABC の面積を求める。A と B は x 軸上にあるので、AB の長さを底辺と考える。AB の長さは、

$AB = 7 - (-\frac{1}{2}) = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

三角形 ABC の高さは、点 C の $y$ 座標である $5$ に等しい。

三角形 ABC の面積は、

$\frac{1}{2} \times \frac{15}{2} \times 5 = \frac{75}{4}$

3. 最終的な答え

A の座標: (7, 0)

B の座標: (-1/2, 0)

C の座標: (2, 5)

三角形 ABC の面積: 75/4