空間内に5点 A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(-a, 0, 0), D(0, -a, 0), E(0, 0, 2a) を頂点とする正四角錐を考える。3辺 EB, EC, ED 上に $\vec{EF} = t\vec{EB}$, $\vec{EG} = s\vec{EC}$, $\vec{EH} = t\vec{ED}$ となる3点 F, G, H をとる。ただし、$0 < s \le 1$, $0 < t \le 1$ とする。線分 AG と線分 FH は交点 I をもつとする。 (1) I の座標を $a$ と $s$ で表せ。 (2) $t$ を $s$ で表せ。 (3) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ のとき、$s$ の値を求めよ。 (4) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ とする。$\angle BGD = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

空間内に5点 A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(-a, 0, 0), D(0, -a, 0), E(0, 0, 2a) を頂点とする正四角錐を考える。3辺 EB, EC, ED 上に $\vec{EF} = t\vec{EB}$, $\vec{EG} = s\vec{EC}$, $\vec{EH} = t\vec{ED}$ となる3点 F, G, H をとる。ただし、$0 < s \le 1$, $0 < t \le 1$ とする。線分 AG と線分 FH は交点 I をもつとする。

(1) I の座標を $a$ と $s$ で表せ。

(2) $t$ を $s$ で表せ。

(3) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ のとき、$s$ の値を求めよ。

(4) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ とする。$\angle BGD = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) I の座標を求める

点 I は線分 AG 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{AI} = k \vec{AG}$ と表せる。

$\vec{AG} = \vec{OG} - \vec{OA} = s\vec{OC} - \vec{OA} = s(-a, 0, 0) - (a, 0, 0) = (-as-a, 0, 0) = (-a(s+1), 0, 0)$

よって、$\vec{OI} = \vec{OA} + \vec{AI} = \vec{OA} + k \vec{AG} = (a, 0, 0) + k(-a(s+1), 0, 0) = (a - a(s+1)k, 0, 0)$.

I の座標は $(a - a(s+1)k, 0, 0)$.

点 I は線分 FH 上にあるので、実数 $l$ を用いて $\vec{FI} = l \vec{FH}$ と表せる。

$\vec{OF} = t\vec{OB} = (0, at, 0)$, $\vec{OH} = t\vec{OD} = (0, -at, 0)$

$\vec{FH} = \vec{OH} - \vec{OF} = (0, -at, 0) - (0, at, 0) = (0, -2at, 0)$

$\vec{FI} = \vec{OI} - \vec{OF} = (a - a(s+1)k, 0, 0) - (0, at, 0) = (a - a(s+1)k, -at, 0)$

したがって、$(a - a(s+1)k, -at, 0) = l(0, -2at, 0)$

$a - a(s+1)k = 0$ より $1 - (s+1)k = 0$. よって $k = \frac{1}{s+1}$.

$-at = -2atl$ より $1 = 2l$. よって $l = \frac{1}{2}$.

$\vec{OI} = (a - a(s+1)k, 0, 0) = (a - a(s+1)\frac{1}{s+1}, 0, 0) = (a - a, 0, 0) = (0, 0, 0)$ となる。

しかし、これは明らかに誤り。

正しくは

$\vec{EF} = t \vec{EB}, \vec{EG} = s \vec{EC}, \vec{EH} = t \vec{ED}$.

$\vec{OB} = (0, a, 0), \vec{OC} = (-a, 0, 0), \vec{OD} = (0, -a, 0), \vec{OE} = (0, 0, 2a)$

$\vec{EB} = (0, a, -2a), \vec{EC} = (-a, 0, -2a), \vec{ED} = (0, -a, -2a)$

$\vec{OF} = \vec{OE} + t\vec{EB} = (0, a t, 2a - 2at)$

$\vec{OG} = \vec{OE} + s\vec{EC} = (-as, 0, 2a - 2as)$

$\vec{OH} = \vec{OE} + t\vec{ED} = (0, -at, 2a - 2at)$

$\vec{OA} = (a, 0, 0)$, $\vec{OG} = (-as, 0, 2a - 2as)$

$\vec{AG} = \vec{OG} - \vec{OA} = (-as-a, 0, 2a-2as)$

$\vec{AI} = k\vec{AG}$

$\vec{OI} = \vec{OA} + \vec{AI} = (a, 0, 0) + k(-as-a, 0, 2a-2as) = (a - k(as+a), 0, 2ka-2kas)$

$\vec{OF} = (0, at, 2a-2at)$, $\vec{OH} = (0, -at, 2a-2at)$

$\vec{FH} = \vec{OH} - \vec{OF} = (0, -2at, 0)$

$\vec{FI} = l \vec{FH}$

$\vec{OI} = \vec{OF} + \vec{FI} = (0, at, 2a-2at) + l(0, -2at, 0) = (0, at - 2atl, 2a - 2at)$

$a-k(as+a) = 0$, $at - 2atl = 0$, $2ka - 2kas = 2a - 2at$

$1-k(s+1) = 0$, $t - 2tl = 0$, $k - ks = 1 - t$

$k = \frac{1}{s+1}$, $1=2l$ より $l = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{s+1} - \frac{s}{s+1} = 1-t$

$\frac{1-s}{s+1} = 1-t$

$t = 1 - \frac{1-s}{1+s} = \frac{1+s-(1-s)}{1+s} = \frac{2s}{1+s}$

$\vec{OI} = (0, at-2atl, 2a-2at) = (0, at - at, 2a-2at) = (0, 0, 2a - 2at)$.

したがって、I の座標は $(0, 0, 2a - 2at)$. $t = \frac{2s}{1+s}$ なので $2a - 2at = 2a(1 - \frac{2s}{1+s}) = 2a(\frac{1-s}{1+s})$

Iの座標は $(0, 0, 2a \frac{1-s}{1+s})$

(2) $t$ を $s$ で表す

$t = \frac{2s}{1+s}$

(3) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ のとき、$s$ の値を求める

$\vec{BI} = (0, -a, 2a \frac{1-s}{1+s})$, $\vec{DI} = (0, a, 2a \frac{1-s}{1+s})$

$\vec{BI} \cdot \vec{DI} = 0$

$-a^2 + 4a^2 (\frac{1-s}{1+s})^2 = 0$

$1 = 4(\frac{1-s}{1+s})^2$

$\frac{1}{2} = \frac{1-s}{1+s}$

$1+s = 2 - 2s$

$3s = 1$

$s = \frac{1}{3}$

(4) $\vec{BI} \perp \vec{DI}$ とする。$\angle BGD = \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

$s = \frac{1}{3}$

$\vec{BG} = \vec{OG} - \vec{OB} = (-\frac{a}{3}, -a, \frac{4}{3}a)$

$\vec{DG} = \vec{OG} - \vec{OD} = (-\frac{a}{3}, a, \frac{4}{3}a)$

$\vec{BG} \cdot \vec{DG} = \frac{a^2}{9} - a^2 + \frac{16}{9}a^2 = (\frac{1}{9} - 1 + \frac{16}{9})a^2 = \frac{8}{9}a^2$

$|\vec{BG}| = \sqrt{\frac{a^2}{9} + a^2 + \frac{16}{9}a^2} = \sqrt{\frac{1+9+16}{9}}a = \sqrt{\frac{26}{9}} a = \frac{\sqrt{26}}{3}a$

$|\vec{DG}| = \sqrt{\frac{a^2}{9} + a^2 + \frac{16}{9}a^2} = \sqrt{\frac{1+9+16}{9}}a = \sqrt{\frac{26}{9}} a = \frac{\sqrt{26}}{3}a$

$\cos \theta = \frac{\vec{BG} \cdot \vec{DG}}{|\vec{BG}||\vec{DG}|} = \frac{\frac{8}{9}a^2}{\frac{26}{9} a^2} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}$

3. 最終的な答え

(1) I の座標: $(0, 0, 2a \frac{1-s}{1+s})$

(2) $t = \frac{2s}{1+s}$

(3) $s = \frac{1}{3}$

(4) $\cos \theta = \frac{4}{13}$