直線 $l: y = \frac{4}{7}x + \frac{24}{7}$ と直線 $m: y = -x + 5$ がある。直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とする。三角形 ABC の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{4}{7}x + \frac{24}{7}$ と直線 $m: y = -x + 5$ がある。直線 $l$ と $x$ 軸の交点を A、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を B、直線 $l$ と直線 $m$ の交点を C とする。三角形 ABC の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点A, B, C の座標を求める。

点Aは直線 $l$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を代入して $x$ を求める。

$0 = \frac{4}{7}x + \frac{24}{7}$

$\frac{4}{7}x = -\frac{24}{7}$

$4x = -24$

$x = -6$

よって、Aの座標は $(-6, 0)$ である。

点Bは直線 $m$ と $x$ 軸との交点なので、$y=0$ を代入して $x$ を求める。

$0 = -x + 5$

$x = 5$

よって、Bの座標は $(5, 0)$ である。

点Cは直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

$y = \frac{4}{7}x + \frac{24}{7}$

$y = -x + 5$

$\frac{4}{7}x + \frac{24}{7} = -x + 5$

$4x + 24 = -7x + 35$

$11x = 11$

$x = 1$

$y = -1 + 5 = 4$

よって、Cの座標は $(1, 4)$ である。

三角形 ABC の面積を求める。AB を底辺とすると、AB の長さは $5 - (-6) = 11$ である。高さは点Cの $y$ 座標である $4$ である。したがって、三角形 ABC の面積は

$\frac{1}{2} \times 11 \times 4 = 22$

3. 最終的な答え

Aの座標: (-6, 0)

Bの座標: (5, 0)

Cの座標: (1, 4)

三角形ABCの面積: 22