円 $x^2 + y^2 + 3ax - 2a^2y + a^2 + 2a^2 - 1 = 0$ がある。$a$ の値が変化するとき、円の中心の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 3ax - 2a^2y + a^2 + 2a^2 - 1 = 0$ がある。$a$ の値が変化するとき、円の中心の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を平方完成して、円の中心の座標を $a$ を用いて表します。

$x^2 + 3ax + y^2 - 2a^2y + 3a^2 - 1 = 0$

$(x + \frac{3}{2}a)^2 - (\frac{3}{2}a)^2 + (y - a^2)^2 - (a^2)^2 + 3a^2 - 1 = 0$

$(x + \frac{3}{2}a)^2 + (y - a^2)^2 = \frac{9}{4}a^2 + a^4 - 3a^2 + 1$

$(x + \frac{3}{2}a)^2 + (y - a^2)^2 = a^4 - \frac{3}{4}a^2 + 1$

よって、円の中心の座標は $(-\frac{3}{2}a, a^2)$ となります。

円の中心の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = -\frac{3}{2}a$

$Y = a^2$

となります。$a$ の値を消去するために、$X$ の式から $a$ を求め、$Y$ の式に代入します。

$a = -\frac{2}{3}X$

$Y = (-\frac{2}{3}X)^2$

$Y = \frac{4}{9}X^2$

したがって、円の中心の軌跡は放物線 $Y = \frac{4}{9}X^2$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{4}{9}x^2$