放物線 $y = x^2$ 上を点Pが動くとき、以下の点の軌跡を求める問題です。 (1) 線分APを2:1に内分する点Q (2) 三角形PBCの重心R ただし、$A(1, 2)$, $B(-1, -2)$, $C(4, -1)$ です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上を点Pが動くとき、以下の点の軌跡を求める問題です。

(1) 線分APを2:1に内分する点Q

(2) 三角形PBCの重心R

ただし、$A(1, 2)$, $B(-1, -2)$, $C(4, -1)$ です。

2. 解き方の手順

(1) 点Qの軌跡

点Pの座標を $(t, t^2)$ とおく。点Qは線分APを2:1に内分するので、点Qの座標を $(x, y)$ とすると、内分点の公式より、

$x = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot t}{2 + 1} = \frac{1 + 2t}{3}$

$y = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot t^2}{2 + 1} = \frac{2 + 2t^2}{3}$

これらの式から $t$ を消去する。

$x = \frac{1 + 2t}{3}$ より、$2t = 3x - 1$ なので、$t = \frac{3x - 1}{2}$。

これを $y = \frac{2 + 2t^2}{3}$ に代入すると、

$y = \frac{2 + 2(\frac{3x - 1}{2})^2}{3} = \frac{2 + 2(\frac{9x^2 - 6x + 1}{4})}{3} = \frac{2 + \frac{9x^2 - 6x + 1}{2}}{3} = \frac{4 + 9x^2 - 6x + 1}{6} = \frac{9x^2 - 6x + 5}{6}$

よって、$y = \frac{3}{2}x^2 - x + \frac{5}{6}$。

(2) 点Rの軌跡

点Pの座標を $(t, t^2)$ とおく。点Rは三角形PBCの重心なので、点Rの座標を $(x, y)$ とすると、重心の公式より、

$x = \frac{t + (-1) + 4}{3} = \frac{t + 3}{3}$

$y = \frac{t^2 + (-2) + (-1)}{3} = \frac{t^2 - 3}{3}$

これらの式から $t$ を消去する。

$x = \frac{t + 3}{3}$ より、$t = 3x - 3$。

これを $y = \frac{t^2 - 3}{3}$ に代入すると、

$y = \frac{(3x - 3)^2 - 3}{3} = \frac{9x^2 - 18x + 9 - 3}{3} = \frac{9x^2 - 18x + 6}{3} = 3x^2 - 6x + 2$

よって、$y = 3x^2 - 6x + 2$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{2}x^2 - x + \frac{5}{6}$

(2) $y = 3x^2 - 6x + 2$