四面体ABCDにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{c}$とし、辺BC, ADの中点をそれぞれL, Mとする。 (1) $\vec{AL}$, $\vec{DL}$, $\vec{LM}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表せ。 (2) 線分ALの中点をNとすると、$\vec{DL} = 2\vec{MN}$であることを示せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{c}$とし、辺BC, ADの中点をそれぞれL, Mとする。

(1) $\vec{AL}$, $\vec{DL}$, $\vec{LM}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表せ。

(2) 線分ALの中点をNとすると、$\vec{DL} = 2\vec{MN}$であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AL}$, $\vec{DL}$, $\vec{LM}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

Lは辺BCの中点であるから、

$\vec{AL} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{DL} = \vec{AL} - \vec{AD} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

Mは辺ADの中点であるから、

$\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{c}$

$\vec{LM} = \vec{AM} - \vec{AL} = \frac{1}{2} \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}}{2}$

(2) $\vec{DL} = 2\vec{MN}$を示す。

Nは線分ALの中点であるから、

$\vec{AN} = \frac{1}{2} \vec{AL} = \frac{1}{2} (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{4}$

$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{4} - \frac{\vec{c}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{4}$

$2\vec{MN} = 2 (\frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{4}) = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

これは$\vec{DL}$に等しい。

よって、$\vec{DL} = 2\vec{MN}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AL} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{DL} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{2}$

$\vec{LM} = \frac{-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}}{2}$

(2) $\vec{DL} = 2\vec{MN}$ (証明終わり)