立方体ABCD-EFGHにおいて、辺CGの中点をMとする。 (1) 線分AF, AM, FMの長さを求めよ。 (2) 角FAMの大きさを求めよ。 (3) 三角形AFMの面積を求めよ。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、辺CGの中点をMとする。

(1) 線分AF, AM, FMの長さを求めよ。

(2) 角FAMの大きさを求めよ。

(3) 三角形AFMの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分AF, AM, FMの長さを求める。

AFは正方形AEFBの対角線なので、$AF = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

AMは直角三角形ACGにおいて、$AC = 2\sqrt{2}$, $CM = 1$ であるから、$AM = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$。

FMは直角三角形FGCにおいて、$FG = 2$, $GM = 1$であるから、$FM = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。

(2) 角FAMの大きさを求める。

三角形AFMにおいて、$AF = 2\sqrt{2}$, $AM = 3$, $FM = \sqrt{5}$である。

余弦定理より、

$\cos \angle FAM = \frac{AF^2 + AM^2 - FM^2}{2 \times AF \times AM} = \frac{(2\sqrt{2})^2 + 3^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \times 2\sqrt{2} \times 3} = \frac{8 + 9 - 5}{12\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\angle FAM = 45^\circ$。

(3) 三角形AFMの面積を求める。

三角形AFMの面積は、$S = \frac{1}{2} \times AF \times AM \times \sin \angle FAM = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3 \times \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{12}{4} = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $AF = 2\sqrt{2}$, $AM = 3$, $FM = \sqrt{5}$

(2) $\angle FAM = 45^\circ$

(3) 三角形AFMの面積は3