問題は、三角形ABCの外側に正三角形BDC、CEA、AFBを作り、それぞれの重心をG1, G2, G3とする。このとき、以下のことを求めます。 (1) 三角形G1G2G3が正三角形になることを証明する。 (2) AB=3, AC=2, ∠BAC=30°のとき、正三角形G1G2G3の一辺の長さを求める。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCの外側に正三角形BDC、CEA、AFBを作り、それぞれの重心をG1, G2, G3とする。このとき、以下のことを求めます。

(1) 三角形G1G2G3が正三角形になることを証明する。

(2) AB=3, AC=2, ∠BAC=30°のとき、正三角形G1G2G3の一辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形AFCと三角形ABEにおいて、

AF=AB, AC=AE, ∠FAC=∠BAEとなるので、2組の辺の長さとその間の角がそれぞれ等しいから、ΔAFC ≡ ΔABE となる。よってアは②。

同様にして、ΔBCF ≡ ΔBDA。

したがって、FC=BE=DA。①より、G1G2=G2G3=G3G1 となり、ΔG1G2G3は正三角形である。

(2)

ΔAGG₂とΔAFCにおいて、AG3 = $\frac{2}{3}AF$, AG2 = $\frac{2}{3}AC$。よってイ=$\frac{2}{3}$, ウ=AF, エ=$\frac{2}{3}$, オ=AC。

∠G3AB=∠G2AC=30°より、カキ=30, クケ=30。

∠G3AG2 = ∠FAC = ∠BAC - ∠G3AB - ∠G2AC = 30°となるので、$\angle G_3 A G_2 = \angle FAC$

余弦定理を用いてFCを計算する：

$FC^2 = AF^2 + AC^2 - 2AF \cdot AC \cos(\angle FAC)$

$FC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos(30^\circ) = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 - 6\sqrt{3}$

$FC = \sqrt{13 - 6\sqrt{3}}$

$G_1G_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}FC = \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{13 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{13}{3} - 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39-18\sqrt{3}}}{3}=\sqrt{\frac{4}{3}}$

FC = DA = BE = $\sqrt{13-6\sqrt{3}}$

相似比は$\frac{\sqrt{3}}{3}$であるから、

G1G2 = $\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{13-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) ア: ②

(2) イ: 2/3, ウ: AF, エ: 2/3, オ: AC, カキ: 30, クケ: 30

正三角形G1G2G3の一辺の長さ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$