$\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、 $\vec{p} = (1-t)\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+t-3t \\ 2-2t+2t \\ -3+3t+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2t \\ 2 \\ -3+4t \end{pmatrix}$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

(1) 原点Oと2点A(-1, 2, -3), B(-3, 2, 1)がある。$\vec{p}=(1-t)\vec{OA}+t\vec{OB}$とするとき、$\left|\vec{p}\right|$の最小値と、そのときの$t$の値を求めよ。

(2) 定点A(-1, -2, 1), B(5, -1, 3)と、$zx$平面上の動点Pに対し、$AP+PB$の最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. $\vec{p}$を成分で表す。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、

$\vec{p} = (1-t)\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+t-3t \\ 2-2t+2t \\ -3+3t+t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2t \\ 2 \\ -3+4t \end{pmatrix}$

2. $\left|\vec{p}\right|^2$を計算する。

$\left|\vec{p}\right|^2 = (-1-2t)^2 + 2^2 + (-3+4t)^2 = (1+4t+4t^2) + 4 + (9-24t+16t^2) = 20t^2 - 20t + 14$

3. $\left|\vec{p}\right|^2$を平方完成する。

$\left|\vec{p}\right|^2 = 20(t^2 - t) + 14 = 20\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 20\left(\frac{1}{4}\right) + 14 = 20\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 5 + 14 = 20\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 9$

4. $\left|\vec{p}\right|$の最小値を求める。

$\left|\vec{p}\right|^2$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値9を取るので、$\left|\vec{p}\right|$の最小値は$\sqrt{9}=3$

**(2)**

1. 点Aの$y$座標の符号を反転させた点A'を考える。 A'(-1, 2, 1)

2. 直線A'Bとzx平面の交点が点Pとなる。

3. A'Bを求める。

$\vec{A'B}=\begin{pmatrix} 5 - (-1) \\ -1 - 2 \\ 3 - 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

直線A'Bの方程式は$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

4. 点Pはzx平面上の点なのでy=0である。よって$2-3t=0$, $t=\frac{2}{3}$

5. 点Pの座標を求める。

$\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ \frac{7}{3} \end{pmatrix}$

P(3,0,7/3)

6. $A'B=\sqrt{(5-(-1))^2+(-1-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$

よってAP+PBの最小値は7

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3. 最終的な答え

**(1)**

$\left|\vec{p}\right|$の最小値：3

$t$の値：$t = \frac{1}{2}$

**(2)**

$AP+PB$の最小値：7