(1) $\angle CAE = \theta$とするとき、$\angle ABC$, $\angle CAD$, $\angle AEB$を$\theta$を用いて表す問題。選択肢の中から適切なものを選ぶ。 (2) Bから辺ACに垂直な直線を引き、線分AEとの交点をPとするとき、$AP/PE$ および $CP$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\angle CAE = \theta$とするとき、$\angle ABC$, $\angle CAD$, $\angle AEB$を$\theta$を用いて表す問題。選択肢の中から適切なものを選ぶ。

(2) Bから辺ACに垂直な直線を引き、線分AEとの交点をPとするとき、$AP/PE$ および $CP$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle ABC$は二等辺三角形であるから、$\angle BAC = \angle BCA$。また、$\angle CAE = \theta$であるから、$\angle BAE = \angle BAC - \angle CAE = \angle BCA - \theta$。

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 2 \angle BAC$。

ここで、$\angle BAC = \angle CAE + \angle BAE = \theta + \angle BAE$。

$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$より、

$2 \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$

$2(\angle CAE + \angle BAE) + \angle ABC = 180^\circ$

$2(\theta + \angle BAE) + \angle ABC = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 2 \theta - 2 \angle BAE$

$\angle ABC = 180^\circ - 2\angle BAC$　であり、$\angle CAE = \theta$ より $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2 = 90^\circ - \angle ABC / 2$

$\angle BAC = \theta + \angle BAE$ より、$\angle ABC$ を求めるためには $\angle BAC$ を$\theta$ で表す必要がある。

$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC$ となる。二等辺三角形であるから $\angle ABC = \angle ACB$。

$\angle BAC = \angle BCA$

$\angle CAE = \theta$ であるから、$\angle BAE = \angle BAC - \theta$ となる。

$\angle BAD = 90^\circ$ であるから、$\angle CAD = 90^\circ - \angle BAE - \theta = 90^\circ - \angle BAC$。$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC / 2$ より、$\angle CAD = \angle ABC/2$.

$\triangle ABC$ において、$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2 = 90^\circ - \angle ABC/2$。

$\angle CAE = \theta$ より、$\angle BAE = \angle BAC - \theta = 90^\circ - \angle ABC/2 - \theta$。

$\angle ABC = 90^\circ - \frac{\theta}{2} \rightarrow ①$

$\angle CAD = \frac{\theta}{2} \rightarrow ⓪$

$\angle AEB = 90^\circ - \theta \rightarrow ④$

(2)

Bから辺ACに垂直な直線を引いたとき、その交点をDとすると、$\triangle ABD$と$\triangle CBE$は相似である。また$\angle APB = \angle CPE$ である。

したがって、

$AP/PE = 1/1$

$CP = \frac{1 \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ABC = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$ (①)

$\angle CAD = \frac{\theta}{2}$ (⓪)

$\angle AEB = 90^\circ - \theta$ (④)

(2) $\frac{AP}{PE} = \frac{1}{1}$

$CP = \frac{1 \sqrt{2}}{2}$