放物線 $y=x^2$ と $y = -\frac{1}{4}x^2$ があり、x軸上の点Pを通りy軸に平行な直線とそれぞれの放物線との交点をA, Bとする。 (1) 点Pのx座標が2のとき、線分ABの長さを求める。 (2) 線分ABの長さが $\frac{45}{4}$ であるとき、 (1) 点Pの座標を求める。 (2) 2点B, Oを通る直線と放物線 $y=x^2$ とのO以外の交点Cについて、2点A, Cを通る直線の式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と $y = -\frac{1}{4}x^2$ があり、x軸上の点Pを通りy軸に平行な直線とそれぞれの放物線との交点をA, Bとする。

(1) 点Pのx座標が2のとき、線分ABの長さを求める。

(2) 線分ABの長さが $\frac{45}{4}$ であるとき、

(1) 点Pの座標を求める。

(2) 2点B, Oを通る直線と放物線 $y=x^2$ とのO以外の交点Cについて、2点A, Cを通る直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pのx座標が2なので、点Pの座標は $(2, 0)$ である。

点Aのx座標も2であり、点Aは放物線 $y = x^2$ 上にあるので、点Aのy座標は $2^2 = 4$。よって、点Aの座標は $(2, 4)$。

点Bのx座標も2であり、点Bは放物線 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、点Bのy座標は $-\frac{1}{4} \times 2^2 = -\frac{1}{4} \times 4 = -1$。よって、点Bの座標は $(2, -1)$。

線分ABの長さは、Aのy座標からBのy座標を引いたものなので、$4 - (-1) = 5$。

(2)

(1) 点Pのx座標を $t$ とすると、点Pの座標は $(t, 0)$。

点Aのx座標も $t$ であり、点Aは放物線 $y = x^2$ 上にあるので、点Aのy座標は $t^2$。よって、点Aの座標は $(t, t^2)$。

点Bのx座標も $t$ であり、点Bは放物線 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、点Bのy座標は $-\frac{1}{4}t^2$。よって、点Bの座標は $(t, -\frac{1}{4}t^2)$。

線分ABの長さは $t^2 - (-\frac{1}{4}t^2) = t^2 + \frac{1}{4}t^2 = \frac{5}{4}t^2$。

線分ABの長さが $\frac{45}{4}$ であるから、$\frac{5}{4}t^2 = \frac{45}{4}$。

$5t^2 = 45$

$t^2 = 9$

$t = \pm 3$

問題文より、点Pはx軸の正の部分にあるので、$t = 3$。

よって、点Pの座標は $(3, 0)$。

(2)

点Bの座標は $(3, -\frac{1}{4} \times 3^2) = (3, -\frac{9}{4})$。

2点B, Oを通る直線の式を $y=ax$ とすると、$x=3$, $y=-\frac{9}{4}$ を代入して、$-\frac{9}{4} = 3a$。

$a = -\frac{9}{4} \times \frac{1}{3} = -\frac{3}{4}$。

よって、直線BOの式は $y = -\frac{3}{4}x$。

点Cは直線BOと放物線 $y = x^2$ の交点なので、$x^2 = -\frac{3}{4}x$。

$x^2 + \frac{3}{4}x = 0$

$x(x + \frac{3}{4}) = 0$

$x = 0, -\frac{3}{4}$

点Cは原点O以外の交点なので、点Cのx座標は $-\frac{3}{4}$。

点Cは放物線 $y = x^2$ 上にあるので、点Cのy座標は $(-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$。

よって、点Cの座標は $(-\frac{3}{4}, \frac{9}{16})$。

点Aの座標は $(3, 9)$。

2点A, Cを通る直線の式を $y = bx + c$ とすると、

$9 = 3b + c$

$\frac{9}{16} = -\frac{3}{4}b + c$

上の式から下の式を引くと、

$9 - \frac{9}{16} = 3b + c - (-\frac{3}{4}b + c) = 3b + \frac{3}{4}b = \frac{12}{4}b + \frac{3}{4}b = \frac{15}{4}b$

$\frac{144}{16} - \frac{9}{16} = \frac{135}{16} = \frac{15}{4}b$

$b = \frac{135}{16} \times \frac{4}{15} = \frac{9}{4}$

$9 = 3 \times \frac{9}{4} + c$

$9 = \frac{27}{4} + c$

$c = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36}{4} - \frac{27}{4} = \frac{9}{4}$

よって、直線ACの式は $y = \frac{9}{4}x + \frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2)

(1) (3, 0)

(2) $y = \frac{9}{4}x + \frac{9}{4}$