2点 A(2, 5), B(6, 1) と直線 $y = -\frac{1}{2}x + k$ (これを直線①とする) が与えられている。 (1) 三角形 OAB の周および内部と直線①が共有点を持つための定数 $k$ の範囲を求める。 (2) 直線①と $y$ 軸との交点を C とする。三角形 CAB の面積が三角形 OAB の面積の半分になるときの定数 $k$ の値を求める。 ## 解き方の手順 (1) 三角形 OAB の周および内部と直線①が共有点を持つためには、直線①が点 A, B を通る場合を考える。 * 直線①が点 A(2, 5) を通るとき: $5 = -\frac{1}{2}(2) + k$ $5 = -1 + k$ $k = 6$ * 直線①が点 B(6, 1) を通るとき: $1 = -\frac{1}{2}(6) + k$ $1 = -3 + k$ $k = 4$ したがって、$4 \le k \le 6$。 (2) 三角形 CAB の面積が三角形 OAB の面積の半分になるとき、C の $y$ 座標を求める。C は直線①と $y$ 軸との交点なので、x=0 を代入して $y = k$ となる。C(0, k)。 三角形 OAB の面積を S とすると、三角形 CAB の面積は $\frac{1}{2}S$ となる。 三角形 OAB の面積は、O(0,0), A(2,5), B(6,1) なので、$S = \frac{1}{2}|2\cdot1 - 5\cdot6| = \frac{1}{2}|2-30| = \frac{1}{2}\cdot 28 = 14$ となる。 三角形 CAB の面積が 7 となる時の k を求める。 三角形 CAB の面積は $\frac{1}{2}| (2(k-1) + 0(1-5) + 6(5-k) | = \frac{1}{2} | 2k - 2 + 30 - 6k | = \frac{1}{2} | -4k + 28 | = |-2k + 14|$. したがって、$|-2k + 14| = 7$ となる。 -2k + 14 = 7 or -2k + 14 = -7 -2k = -7 or -2k = -21 k = 7/2 or k = 21/2 ここで、k=21/2 だと直線が点A, Bの範囲外となるので、k = 7/2 ## 問題5 1. 問題の内容 一つの立方体を切断して、いくつかの等しい立方体を作ることを考える。 (1) 8個の等しい立方体を作ったとき、それらの表面積の和はもとの立方体の表面積の何倍になるか。 (2) 27個の等しい立方体を作ったとき、それらの表面積の和はもとの立方体の表面積の何倍になるか。

## 問題4

1. 問題の内容

2点 A(2, 5), B(6, 1) と直線 $y = -\frac{1}{2}x + k$ (これを直線①とする) が与えられている。

(1) 三角形 OAB の周および内部と直線①が共有点を持つための定数 $k$ の範囲を求める。

(2) 直線①と $y$ 軸との交点を C とする。三角形 CAB の面積が三角形 OAB の面積の半分になるときの定数 $k$ の値を求める。

## 解き方の手順

(1) 三角形 OAB の周および内部と直線①が共有点を持つためには、直線①が点 A, B を通る場合を考える。

* 直線①が点 A(2, 5) を通るとき:

$5 = -\frac{1}{2}(2) + k$

$5 = -1 + k$

$k = 6$

* 直線①が点 B(6, 1) を通るとき:

$1 = -\frac{1}{2}(6) + k$

$1 = -3 + k$

$k = 4$

したがって、$4 \le k \le 6$。

(2) 三角形 CAB の面積が三角形 OAB の面積の半分になるとき、C の $y$ 座標を求める。C は直線①と $y$ 軸との交点なので、x=0 を代入して $y = k$ となる。C(0, k)。

三角形 OAB の面積を S とすると、三角形 CAB の面積は $\frac{1}{2}S$ となる。

三角形 OAB の面積は、O(0,0), A(2,5), B(6,1) なので、$S = \frac{1}{2}|2\cdot1 - 5\cdot6| = \frac{1}{2}|2-30| = \frac{1}{2}\cdot 28 = 14$ となる。

三角形 CAB の面積が 7 となる時の k を求める。

三角形 CAB の面積は $\frac{1}{2}| (2(k-1) + 0(1-5) + 6(5-k) | = \frac{1}{2} | 2k - 2 + 30 - 6k | = \frac{1}{2} | -4k + 28 | = |-2k + 14|$.

したがって、$|-2k + 14| = 7$ となる。

-2k + 14 = 7 or -2k + 14 = -7

-2k = -7 or -2k = -21

k = 7/2 or k = 21/2

ここで、k=21/2 だと直線が点A, Bの範囲外となるので、k = 7/2

## 問題5

1. 問題の内容

一つの立方体を切断して、いくつかの等しい立方体を作ることを考える。

(1) 8個の等しい立方体を作ったとき、それらの表面積の和はもとの立方体の表面積の何倍になるか。

(2) 27個の等しい立方体を作ったとき、それらの表面積の和はもとの立方体の表面積の何倍になるか。

2. 解き方の手順

(1) 8個の等しい立方体を作る場合、もとの立方体を各辺を半分に切断することになる。

元の立方体の1辺の長さを $a$ とすると、体積は $a^3$。8個に分割すると、1つの立方体の体積は $\frac{a^3}{8}$ となる。

これは1辺の長さが $\frac{a}{2}$ の立方体。

元の立方体の表面積は $6a^2$。

分割後の小さな立方体1つの表面積は $6(\frac{a}{2})^2 = 6\frac{a^2}{4} = \frac{3}{2}a^2$。

8個の立方体の表面積の和は $8\cdot \frac{3}{2}a^2 = 12a^2$。

表面積の比は $\frac{12a^2}{6a^2} = 2$。

したがって、2倍。

(2) 27個の等しい立方体を作る場合、もとの立方体を各辺を3等分に切断することになる。

元の立方体の1辺の長さを $a$ とすると、体積は $a^3$。27個に分割すると、1つの立方体の体積は $\frac{a^3}{27}$ となる。

これは1辺の長さが $\frac{a}{3}$ の立方体。

分割後の小さな立方体1つの表面積は $6(\frac{a}{3})^2 = 6\frac{a^2}{9} = \frac{2}{3}a^2$。

27個の立方体の表面積の和は $27\cdot \frac{2}{3}a^2 = 18a^2$。

表面積の比は $\frac{18a^2}{6a^2} = 3$。

したがって、3倍。

## 最終的な答え

問題4:

(1) $4 \le k \le 6$

(2) $k = \frac{7}{2}$

問題5:

(1) 2倍

(2) 3倍